IV慶應義塾大学 2011年 数学 第IV問解答・解説

$a>0$、$k>1$、$m<0$ とし、$\displaystyle q=\dfrac{k}{a}-ma$ とおくと、直線 $l$ は $y=mx+q$ である。曲線 $C_1$ との交点の $x$ 座標は $$mx^2+qx-1=0$$ の2根である。$s=-m>0$ とすれば $q=k/a+sa$ だから、判別式は $q^2-4s\ge4(k-1)s>0$。また根の和と積はともに正であり、2根は正である。

(1) 根と係数の関係から $$\displaystyle x_1+x_2=-\frac qm,\qquad x_1x_2=-\frac1m, \qquad (x_2-x_1)^2=\frac{q^2+4m}{m^2}.$$ さらに $y_i=1/x_i$ より $$\displaystyle (y_2-y_1)^2=\frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1x_2)^2}=m^2(x_2-x_1)^2.$$ したがって $$\displaystyle AB^2=(1+m^2)(x_2-x_1)^2 =(1+m^2)\left[\left(a+\frac{k}{am}\right)^2+\frac{4(k-1)}{-m}\right].$$ $m<0$ かつ $k>1$ だから第2項は正であり、平方項が $0$ のとき最小となる。条件 $\displaystyle a+\dfrac{k}{am}=0$ は $a^2=-k/m$ と同値なので、$AB$ は $a=\sqrt{-k/m}$ で最小となる。

(2) $P$ は直線 $AB$ 上にあるため、$AP=PB$ であることは $P$ の $x$ 座標が $AB$ の中点の $x$ 座標と等しいことと同値である。根の和を用いて $$\displaystyle a=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac12\left(a-\frac{k}{am}\right) \quad\text{と同値な条件は}\quad m=-\frac{k}{a^2}.$$

(3) $x_1<x_2$ の間では $mx+q-1/x>0$ なので $$\displaystyle S(m)=\int_{x_1}^{x_2}\left(mx+q-\frac1x\right)dx =\left[\frac m2x^2+qx-\ln x\right]_{x_1}^{x_2}.$$ 各端点では $mx_i+q-1/x_i=0$ である。上式を $m$ で微分すると、端点を微分した項はこの等式によって消え、$q'=-a$ から $$\displaystyle \frac{dS}{dm}=\frac{x_2^2-x_1^2}{2}-a(x_2-x_1) =\frac{x_2-x_1}{2}(x_1+x_2-2a).$$ 根の和 $\displaystyle x_1+x_2=a-\dfrac{k}{am}$ を代入すると $$\displaystyle \frac{dS}{dm}=\frac{(x_2-x_1)(a^2m+k)}{-2am}.$$ $x_2-x_1>0$ かつ $-2am>0$ だから、この導関数の符号は $a^2m+k$ の符号と同じである。したがって $m<-k/a^2$ では減少し、$m>-k/a^2$ では増加する。ゆえに $S(m)$ は $m=-k/a^2$ で最小となる。(2)より、この値は（う）と同じである。

(4) $m=-k/a^2$ とおくと、直線は $\displaystyle y=\dfrac{k}{a}(2-x/a)$ である。$u=x/a$、$\delta=\sqrt{1-1/k}$ とおけば、交点の $u$ 座標は $1-\delta$ と $1+\delta$ である。よって変数変換 $x=au$ により $$\displaystyle S_0=\int_{1-\delta}^{1+\delta}\left(k(2-u)-\frac1u\right)du =2k\delta-\ln\frac{1+\delta}{1-\delta}.$$ ここで $\delta=\sqrt{(k-1)/k}$ だから $$\displaystyle \frac{1+\delta}{1-\delta}=(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})^2,$$ したがって $$S_0=2\sqrt{k(k-1)}-2\ln(\sqrt{k}+\sqrt{k-1}).$$ これは $a$ によらず、$k$ だけで定まる。