2東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

東京慈恵会医科大学 2023年度 数学 Q2

$n$ は自然数、$a>0$ であり、 $$\displaystyle f(x)=x+\frac1n\int_0^x f(t)\,dt,\qquad g(x)=ae^{-x/n}+a$$ とする。

(1) $h'(x)$ と $h(x)$

まず $f(0)=0$ である。積分の微分より $$\displaystyle f'(x)=1+\frac{f(x)}n.$$ $h(x)=e^{-x/n}f(x)$ とおけば、積の微分を用いて $$\displaystyle h'(x)=e^{-x/n}\left(f'(x)-\frac{f(x)}n\right)=e^{-x/n}.$$ さらに $h(0)=0$ なので、これを積分して $$\boxed{h'(x)=e^{-x/n}},\qquad \boxed{h(x)=n\left(1-e^{-x/n}\right)}.$$ したがって $$f(x)=n\left(e^{x/n}-1\right),\qquad f'(x)=e^{x/n}.$$

(2) $a$ の値

共通点における接線の傾きの積は $$\displaystyle f'(x)g'(x) =e^{x/n}\left(-\frac an e^{-x/n}\right) =-\frac an.$$ 接線が直交する必要十分条件は傾きの積が $-1$ となることであるから、 $$\displaystyle -\frac an=-1,\qquad\boxed{a=n}.$$ このとき共通点の存在も確認できる。$u=e^{x/n}>0$ とおいて $f(x)=g(x)$ とすると $$\displaystyle n(u-1)=n\left(\frac1u+1\right) \quad\text{すなわち}\quad u^2-2u-1=0.$$ 正の解は $u=1+\sqrt2$ だけなので、共通点はただ1つで、 $$X=n\log(1+\sqrt2)$$ を $x$ 座標にもつ。

(3) 面積と極限

$U=1+\sqrt2$ とする。$0\le x\le X$ では $1\le u=e^{x/n}\le U$ である。$u-1/u$ は $u>0$ で増加し、$U-1/U=2$ だから、 $$\displaystyle g(x)-f(x)=n\left(2+\frac1u-u\right)\ge0.$$ 従って求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S_n &=\int_0^X(g(x)-f(x))\,dx\\ &=\int_0^X n\left(2+e^{-x/n}-e^{x/n}\right)\,dx\\ &=\left[2nx-n^2e^{-x/n}-n^2e^{x/n}\right]_0^X\\ &=n^2\left(2\log U-U-\frac1U+2\right). \end{aligned}$$ $U-1/U=2$ かつ $U+1/U>0$ より $$\displaystyle \left(U+\frac1U\right)^2 =\left(U-\frac1U\right)^2+4=8, \qquad U+\frac1U=2\sqrt2.$$ ゆえに $$S_n=2n^2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_1+\cdots+S_n}{n^3} &=2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right) \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum\limits _{k=1}^n k^2\\ &=2\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right)\cdot\frac13\\ &=\boxed{\frac23\left(1+\log(1+\sqrt2)-\sqrt2\right)}. \end{aligned}$$

**使用解法:** 積分方程式を微分して $h$ を導出、接線の傾きと直交条件、指数関数の置換による交点・面積計算、平方和の公式による極限。

**issues:** なし。