3東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

東京慈恵会医科大学 2023年度 数学 Q3

第1象限に $P(\sqrt2\,r,\sqrt3\,s)$ が属するので $r,s$ は正の有理数である。距離の公式より $$OP=\sqrt{2r^2+3s^2}.$$ これが有理数であると仮定し、$OP=\ell$ とおく。$r,s,\ell$ の分母の公倍数を $m$ とすれば、 $$p=mr,\qquad q=ms,\qquad k=m\ell$$ は正の整数で、 $$k^2=2p^2+3q^2$$ を満たす。共通因数があれば $p,q,k$ をその因数で割ってもこの等式は保たれるから、$\gcd(p,q,k)=1$ としてよい。

この等式を3で割った余りで考える。もし $3\nmid p$ なら $p^2\equiv1\pmod3$ なので $$k^2\equiv2p^2\equiv2\pmod3$$ となる。しかし平方数を3で割った余りは0または1であり矛盾する。よって $3\mid p$。元の等式から $3\mid k^2$、したがって $3\mid k$ でもある。$p=3p_1,\ k=3k_1$ と置いて等式に代入し、3で割ると $$3k_1^2=6p_1^2+q^2.$$ これを3で見れば $q^2\equiv0\pmod3$ なので $3\mid q$ である。すると $p,q,k$ がすべて3の倍数となり、$\gcd(p,q,k)=1$ に反する。

仮定が誤りであるから、 $$\boxed{OP\text{ は無理数である}}.$$

**使用解法:** 距離の公式、長さが有理数と仮定した上で分母を払う、平方剰余を3で分類して矛盾を導く。

**issues:** なし。