1筑波大学 2025年 数学 第1問解答・解説

条件 (A) では各項とその $3$ 倍で正接が定義されている。実数 $x,y$ について（正接が定義されているとき）$\tan x=\tan y$ ならば $x-y\text{ は }\pi\text{ の整数倍}$ である。したがって、$a_n=ar^{n-1}$ とおくと、条件 (A) は $$a_{n+1}-3a_n=a(r-3)r^{n-1}\text{ は }\pi\text{ の整数倍}\qquad(n\ge1) \tag{*}$$ を含意する。

(1) 条件 (A) の $n=1,2$ における正接の等式をそのまま用いれば $$\tan(ar)=\tan(3a),\qquad \tan(ar^2)=\tan(3ar)$$ を得る。

(2) $q=a/\pi$ とおく。仮定より $q$ は無理数であり、特に $q\ne0$。($*$) の $n=1,2$ から $$m=q(r-3)\text{ は整数},\qquad \ell=q(r-3)r\text{ は整数}$$ となる。$m=0$ ならば $q\ne0$ より $r=3$。$m\ne0$ と仮定すると $r=\ell/m\text{ は有理数}$ であり、しかも $r\ne3$。よって $q=m/(r-3)\text{ は有理数}$ となって仮定に反する。したがって $r=3$。

(3) ここでは $a=2\pi/5$ なので、($*$) は $$\displaystyle m r^{n-1}\text{ は整数}\quad(n\ge1),\qquad m=\frac{2(r-3)}5\text{ は整数}$$ を与える。$m=0$ ならば $r=3$ である。$m\ne0$ ならば $n=2$ により $mr\text{ は整数}$ だから $r$ は有理数である。既約分数 $r=p/q$（$p\text{ は整数},\ q\text{ は正の整数},\ \gcd(|p|,q)=1$）をとると、全ての $k\ge0$ について $mp^k/q^k\text{ は整数}$ である。従って $q^k\mid m$ が全ての $k$ で成り立つ。$m\ne0$ なので $q>1$ は不可能であり、$q=1$、すなわち $r\text{ は整数}$。

(4) (3) より $r$ は整数であり、($*$) の $n=1$ より $2(r-3)/5\text{ は整数}$。従って $r\equiv3\pmod5$ で、範囲 $1\le r\le10$ の候補は $3,8$ だけである。これらについて $$\displaystyle a_{n+1}-3a_n=\frac{2\pi}{5}(r-3)r^{n-1}$$ はそれぞれ $0$ または $2\pi\,8^{n-1}$ となり、常に $\pi$ の整数倍である。また $k=n-1$ とすると $a_n/\pi=2r^k/5$、$3a_n/\pi=6r^k/5$。前者が $1/2+j$（$j\text{ は整数}$）なら $4r^k=5(2j+1)$、後者がそうなら $12r^k=5(2j+1)$ となるが、いずれも偶数と奇数が等しいことになり不可能。よって正接は全て定義され、候補 $r=3,8$ はともに条件 (A) を満たす。