3筑波大学 2025年 数学 第3問解答・解説

円 $C$ の中心は $(1,1)$、半径は $1$ である。点 $U=(u,0)$ を通る傾き $m$ の直線を $y=m(x-u)$ とする。この直線が $C$ に接する条件は、中心から直線までの距離が $1$ となることだから $$\displaystyle \frac{|m(1-u)-1|}{\sqrt{m^2+1}}=1.$$ 両辺を2乗して整理すると $$m\left(m\bigl((1-u)^2-1\bigr)-2(1-u)\right)=0,$$ よって接線の傾きは $0$ または $\displaystyle \dfrac{2(1-u)}{(1-u)^2-1}$ である。

(1) $u=2a$ とする。もう一方の傾きは $$\displaystyle \frac{2(1-2a)}{(1-2a)^2-1}=-\frac{2a-1}{2a(a-1)}<0$$ である。したがってこれが小さい方の傾きであり、 $$\displaystyle \ell_1:\quad y=-\frac{2a-1}{2a(a-1)}(x-2a).$$

(2) $u=-a$ とすると、点 $B$ を通るもう一方の接線の傾きは $$\displaystyle \frac{2(a+1)}{(a+1)^2-1}=\frac{2(a+1)}{a(a+2)}>0$$ だから、これが大きい方である。よって $$\displaystyle \ell_2:\quad y=\frac{2(a+1)}{a(a+2)}(x+a).$$ ここで $\ell_1$ は右下がり、$\ell_2$ は右上がりである。$x=-a$ では $\ell_2$ は $x$ 軸上で $\ell_1$ はその上にあり、$x=2a$ では $\ell_1$ は $x$ 軸上で $\ell_2$ はその上にある。したがって交点 $D=(x_D,y_D)$ は $-a<x_D<2a$ にあり、$y_D>0$。垂足 $H=(x_D,0)$ は線分 $AB$ 上にあり、2つの三角形の高さは共通なので $$\displaystyle \frac{[BDH]}{[ADH]}=\frac{x_D+a}{2a-x_D}=\frac54.$$ これを解いて $\displaystyle x_D=\dfrac{2a}{3}$。このとき2直線の高さを等しくすると $$\displaystyle \frac{2(2a-1)}{3(a-1)}=\frac{10(a+1)}{3(a+2)},$$ よって $$(2a-1)(a+2)=5(a+1)(a-1),\qquad a^2-a-1=0.$$ $a>1$ だから $$\displaystyle a=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

(3) この $a$ は $a^2-a-1=0$ を満たすので、$a^2=a+1$ および $(a-1)(a+2)=2a-1$ である。2つの接線の傾きの積は $$\displaystyle \left(-\frac{2a-1}{2a(a-1)}\right)\left(\frac{2(a+1)}{a(a+2)}\right) =-\frac{a+1}{a^2}=-1.$$ したがって $AD$ と $BD$ は垂直で、$\displaystyle \angle ADB=\dfrac{\pi}{2}$。直角三角形 $ABD$ の外接円の中心は斜辺 $AB$ の中点、半径は $AB/2$ である。$AB=3a$ より、中心と半径はそれぞれ $$\displaystyle \left(\frac a2,0\right)=\left(\frac{1+\sqrt5}{4},0\right), \qquad \frac{3a}{2}=\frac{3(1+\sqrt5)}4.$$