5新潟大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) z=i を代入すると $$\displaystyle w=-\frac{2(2i-i)}{i+1}=-\frac{2i}{1+i}=-i(1-i)=-1-i$$ である。したがって実部・虚部はいずれも $-1$。

(2) 与式を整理して $$w(z+1)=-4z+2i,\qquad (w+4)z=2i-w$$ を得る。$w=-4$ では後式が $0=4+2i$ となり不可能なので、 $$\displaystyle z=\frac{2i-w}{w+4}.$$

(3) 逆変換と $|z|=1$ より $$|2i-w|=|w+4|.$$ $w=x+yi$ とおくと $$x^2+(2-y)^2=(x+4)^2+y^2 \quad\text{すなわち}\quad 2x+y+3=0.$$ 逆にこの直線上では $w+4\ne0$（$w=-4$ は直線上にない）なので逆変換が定まり、上の等式から $|z|=1$ を満たす。また逆変換で $z=-1$ となることは $2i=-4$ を導いて矛盾する。よって $z\ne-1$ も満たし、軌跡は直線全体である。図示するには、実軸との交点 $(-3/2,0)$ と虚軸との交点 $(0,-3)$ を結ぶ。