7長崎大学 2018年 数学 第7問解答・解説

複素数を $z=x+yi$（$x,y$ は実数）と表す。

(1) $z=t$ のとき、左辺は $t|t+1/t|=t^2+1$、右辺は $0$ であるから、$A$ は $F$ の点ではない。また、$z=-1/t$ のとき、左辺は $0$、右辺は $(1/t)|-1/t-t|=1+1/t^2>0$ であるから、$B$ も $F$ の点ではない。

(2) $t=1$ のとき、条件は $|z+1|=|z-1|$ となる。両辺を平方して $z=x+yi$ を代入すると $(x+1)^2+y^2=(x-1)^2+y^2$、したがって $x=0$ である。よって $F$ は虚軸を表す。

(3) $A,B$ は実軸上にあるので、直線 $AB$ は実軸である。そこで $z=x$（$x$ は実数）とおく。元の条件に $t>0$ を用いて両辺に $t$ を掛けると $t^2|x+1/t|=|x-t|$ となる。両辺は非負なので平方しても同値であり、 $$t^4(x+1/t)^2=(x-t)^2.$$ 差の平方を因数分解すると $$(t^2(x+1/t)-(x-t))(t^2(x+1/t)+(x-t))=0,$$ すなわち $((t^2-1)x+2t)((t^2+1)x)=0$ である。よって $x=0$ または $x=2t/(1-t^2)$ である。$t\ne1$ かつ $t>0$ より後者は $0$ でなく、$|0|<|2t/(1-t^2)|$ だから、$z_1=0,\ z_2=2t/(1-t^2)$ である。

(4) 中点の複素数は $$\displaystyle m=\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{t}{1-t^2}.$$ 次に、$P(z)$ が $F$ 上にある条件を平方して整理する。両辺は非負なので平方は同値であり、 $$|z-t|^2=t^4|z+1/t|^2.$$ $z=x+yi$ を代入すると $$|z|^2-2tx+t^2=t^4|z|^2+2t^3x+t^2,$$ したがって $$(1+t^2)((1-t^2)|z|^2-2tx)=0.$$ ここで $1+t^2>0$ かつ $t\ne1$ なので、$m=t/(1-t^2)$ を用いて $|z|^2-2mx=0$ と書ける。$m$ は実数だから、これは $$|z-m|^2=m^2$$ と同値であり、$|z-m|=|m|=t/|1-t^2|$ を得る。したがって $F$ は実軸上の点 $m$ を中心とし、半径 $t/|1-t^2|$ の円である。

固定取得manifestの同一相対PDFパス・実PDF SHA一致（line 803、長崎大2018医前期）。PDF p.1の選択表で医学部は3,4,7,8、p.14のQ7本文を画像照合。旧解説の平方・展開・円の中心と半径を検算した。