3長崎大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $n=1$ のとき $S_1=a_1$ だから、$a_1=6-2a_1$ より $a_1=2$ である。$n\geq2$ では、$S_n-S_{n-1}=a_n$ を用いると、$$\displaystyle a_n=6-2a_n+2a_{n-1},\qquad a_n=2+\frac{2}{3}a_{n-1}$$ を得る。したがって $\displaystyle a_n-6=\frac{2}{3}(a_{n-1}-6)$ であり、$a_1-6=-4$ より、$\displaystyle a_n=6-4\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ となる。この一般項から $\displaystyle S_n=6n-12\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)=6n-12+12\left(\frac{2}{3}\right)^n$ である。一方、$\displaystyle 6n-2a_n=6n-12+8\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=6n-12+12\left(\frac{2}{3}\right)^n$ なので、条件も満たす。

(2) 加法定理より、$$(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)=2-2\cos(\alpha-\beta).$$ 半角の公式と $\displaystyle \sin\frac{\alpha-\beta}{2}=A$ から、これは $\displaystyle 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}=4A^2$ である。

(3) 対数の真数条件から $x\ne0,2$ である。底が $2$ の対数の性質を用いると、与式は $\log_2 x^2=\log_2(4|x-2|)$ と同値であり、したがって $x^2=4|x-2|$ である。$x<2$ のとき $x^2=4(2-x)$ より $x^2+4x-8=0$、ゆえに $x=-2\pm2\sqrt3$ となる。この二つはいずれも $x<2$ かつ $x\ne0$ を満たす。$x>2$ のときは $x^2=4(x-2)$、すなわち $x^2-4x+8=0$ となるが、判別式は $16-32=-16<0$ なので実数解はない。よって解は $x=-2\pm2\sqrt3$ である。

(4) $f(0)=0$ である。微分係数の定義において、$h<0$ なら $\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2+h}{h}=h+1$、$h>0$ なら $\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h}{h}=1$ である。左右いずれから $h\to0$ としても極限は $1$ だから、$x=0$ における微分係数は $1$ である。