5長崎大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1) 導関数は $$f'(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)$$ である。したがって、$x<-1$および$x>1$では$f'(x)>0$、$-1<x<1$では$f'(x)<0$である。よって、$y=f(x)$は$x<-1$ または $x>1$ で増加し、$-1<x<1$ で減少する。$x=-1$で極大となり、 $$\displaystyle f(-1)=-\frac13+1+2=\frac83$$ である。また、$x=1$で極小となり、 $$\displaystyle f(1)=\frac13-1+2=\frac43$$ である。さらに、 $$f''(x)=2x$$ より、$x<0$で上に凸、$x>0$で下に凸であるから、変曲点は$P=(0,f(0))=(0,2)$である。

(2) 点$P$における接線の傾きは$f'(0)=-1$だから、 $$\ell:y-2=-(x-0),\qquad \ell:y=-x+2.$$ これに垂直な直線の傾きは$1$である。したがって、 $$m:y-2=x-0,\qquad m:y=x+2.$$

(3) 直線$m$と曲線$C$の交点の$x$座標を求める方程式は $$\displaystyle \frac13x^3-x+2=x+2$$ である。これと同値な式は $$x(x^2-6)=0$$ である。よって、$P=(0,2)$以外の交点は $$Q=(-\sqrt6,2-\sqrt6),\qquad R=(\sqrt6,2+\sqrt6)$$ である。$0\le x\le\sqrt6$では $$\displaystyle (x+2)-f(x)=2x-\frac13x^3=\frac{x(6-x^2)}3\ge0$$ だから、求める面積は $$\displaystyle S=\int_0^{\sqrt6}\left(2x-\frac13x^3\right)dx =\left[x^2-\frac{x^4}{12}\right]_0^{\sqrt6} =6-3=3.$$

(4) 面積を二等分する直線を$y=ax+2$とし、その直線と$C$との$P$以外の交点の$x$座標を$t$とする。図形$F$の内部を通るため$0<t<\sqrt6$であり、 $$\displaystyle at+2=f(t)=\frac13t^3-t+2$$ より $$\displaystyle a=\frac{t^2}{3}-1.$$ $0\le x\le t$では直線$y=ax+2$が曲線$C$の上側にあるので、直線で切り取られる$P$側の面積は $$\displaystyle \int_0^t\bigl(ax+2-f(x)\bigr)dx =\int_0^t\frac{x(t^2-x^2)}3\,dx =\frac{t^4}{12}.$$ これが$S/2=3/2$に等しいから、$t^4=18$、したがって$t^2=3\sqrt2$である。よって $$\displaystyle a=\frac{t^2}{3}-1=\sqrt2-1.$$ 求める直線は $$y=(\sqrt2-1)x+2$$ である。