2北里大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 共有点では $$\displaystyle x^2=1+\frac{y^2}{b}.$$ これを楕円の式に代入すると $$\displaystyle \frac1a+y^2\left(\frac1{ab}+\frac12\right)=1,$$ よって $$\displaystyle y^2=\frac{2b(a-1)}{ab+2},\qquad x^2=1+\frac{y^2}{b}=\frac{a(b+2)}{ab+2}.$$ 第1象限の点は正の平方根を取り、$P=(\sqrt{a(b+2)/(ab+2)},\sqrt{2b(a-1)/(ab+2)})$。$a,b>0$なので$x^2>0$、4共有点をもつためには$y^2>0$、すなわち$a>1$が必要十分である。

(2) 楕円を陰関数微分すると接線の傾きは$-2x/(ay)$、双曲線では$bx/y$。両接線が垂直となる条件は傾きの積が$-1$であることだから $$\displaystyle -\frac{2b x^2}{a y^2}=-1\quad\text{すなわち}\quad2b x^2=a y^2.$$ (1)の座標を代入し、正の共通因子を約すると$b+2=a-1$、従って$b=a-3$。4共有点条件と$b>0$を合わせて$a>3$。4点は$(\pm x,\pm y)$であり長方形の頂点なので、面積は$S=4xy$。代入して $$\displaystyle S=\frac{4\sqrt{2ab(a-1)(b+2)}}{ab+2} =\frac{4\sqrt{2a(a-3)}}{a-2},$$ ここで$ab+2=(a-1)(a-2)>0$を用いた。

(3) $a>3$で$S>0$なので二乗しても解の個数は変わらず、 $$\displaystyle S^2=\frac{32a(a-3)}{(a-2)^2},\qquad \frac{d}{da}S^2=\frac{32(6-a)}{(a-2)^3}.$$ 従って$S$は、$3<a<6$では、$a$が大きくなると必ず大きくなり、$a>6$では必ず小さくなる。さらに $$\displaystyle \lim\limits _{a\to3+}S=0,\qquad S(6)=6,\qquad \lim\limits _{a\to\infty}S=4\sqrt2.$$ $a>6$では$S^2-32=32(a-4)/(a-2)^2>0$なので、右側の枝は$4\sqrt2$より大きい値から6未満までを一度ずつ取る。左側の枝は0から6未満を一度ずつ取る。したがって$S=k$が異なる$a$をちょうど2つもつのは $$4\sqrt2<k<6.$$ 下端では右枝は極限値を取らず、上端では最大値を一度だけ取るため、両端を除く。