4新潟大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $Q(a,b)$ は楕円上にあるので $a^2+4b^2=1$ である。また、$\ell$ は $y$ 軸と平行でないため $b\ne0$ である。楕円を $y$ の関数として微分すると $$\displaystyle 2x+8y\frac{dy}{dx}=0,$$ したがって $Q$ における接線の傾きは $-a/(4b)$ である。点 $Q$ を通る接線は $$\displaystyle y-b=-\frac{a}{4b}(x-a)$$ であり、これを整理すると $$ax+4by=a^2+4b^2=1.$$

(2) 点 $P(-1,-t)$ がこの接線上にあるので $$-a-4bt=1,\qquad a^2+4b^2=1.$$ 前者から $a=-1-4bt$ として後者に代入すると $$8bt+4b^2(4t^2+1)=0, \qquad 4b\{2t+b(4t^2+1)\}=0.$$ $b=0$ の場合は $a=-1$ となり、接線は $x=-1$ で $y$ 軸と平行だから除く。残る解は $$\displaystyle b=-\frac{2t}{4t^2+1},\qquad a=-1-4bt=\frac{4t^2-1}{4t^2+1}.$$ $t>1/2$ より $a>0,\ b<0$ である。

(3) 接線 $ax+4by=1$ の $x$ 軸、$y$ 軸との交点はそれぞれ $(1/a,0)$、$(0,1/(4b))$ である。$a>0,\ b<0$ より、この部分は直角三角形となるから $$\displaystyle S(t)=\frac12\cdot\frac1a\cdot\left(-\frac1{4b}\right) =-\frac1{8ab} =\frac{(4t^2+1)^2}{16t(4t^2-1)}.$$

(4) $$\displaystyle \frac{S(t)}{t} =\frac{(4t^2+1)^2}{16t^2(4t^2-1)} =\frac{(4+t^{-2})^2}{16(4-t^{-2})} \longrightarrow \frac14 \qquad (t\to\infty).$$