1新潟大学 2017年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x^2y^3\text{ を得るには、6個の因子のうち2個から }x\text{ を、残る4個のうち3個から }y\text{ を選び、最後の1個から }1\text{ を選ぶ。したがって係数は}\quad \binom62\binom43=15\cdot4=60.\\ \text{(2) }x\text{ を選ぶ因子数を }r\text{、}xy\text{ を選ぶ因子数を }s\text{ とすると、}r+s=5,\ s=3\text{ より }r=2\text{。残り3個からは }1\text{ を選ぶ。よって係数は}\quad \binom83\binom52=56\cdot10=560.\\ \text{(3) 10個の因子から }1,x,xy,xy^2\text{ を選ぶ個数をそれぞれ }d,a,b,c\text{ とする。}x^8y^{13}\text{ の条件は}\quad a+b+c=8,\quad b+2c=13,\quad d=10-(a+b+c)=2.\\ b=13-2c,\qquad a=c-5.\text{ 個数が非負整数であるため }c=5\text{ または }6\text{。}\\ c=5\text{ のとき }(d,a,b,c)=(2,0,3,5)\text{ で、選び方は }\binom{10}{5}\binom53=2520.\\ c=6\text{ のとき }(d,a,b,c)=(2,1,1,6)\text{ で、選び方は }\binom{10}{6}\binom41\binom31=2520.\\ \text{以上より求める係数は }2520+2520=5040.$$