I愛知医科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

1)(a) 式の値が定義されるため $x\neq0$ である。$\displaystyle t=x+\frac1x$ とおくと， $$\displaystyle t^3=x^3+\frac1{x^3}+3\left(x+\frac1x\right)$$ より $t^3-3t=488$ である。因数分解すると $$t^3-3t-488=(t-8)(t^2+8t+61)=0.$$ ここで $t^2+8t+61=(t+4)^2+45>0$ だから，$t=8$ である。よって答えは $8$ である。

1)(b) まず $$\displaystyle x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2=8^2-2=62.$$ したがって $$\displaystyle x^4+\frac1{x^4}=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^2-2=62^2-2=3842.$$

2) $(1+x)^m$ における $x^j$ の係数は $\displaystyle \binom{m}{j}$ である。パスカルの関係 $$\displaystyle \binom{m}{j}=\binom{m+1}{j+1}-\binom{m}{j+1}$$ を $m=j$ から $n$ まで足すと， $$\displaystyle \sum\limits _{m=j}^{n}\binom{m}{j}=\binom{n+1}{j+1}.$$ よって求める係数は $$\displaystyle \begin{aligned} (a)\quad [x]&=\binom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}2,\\ (b)\quad [x^2]&=\binom{n+1}{3}=\frac{n(n-1)(n+1)}6,\\ (c)\quad [x^3]&=\binom{n+1}{4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{24}. \end{aligned}$$

3)(a) 条件(i)の両辺に $\vec a$ を内積すると，条件(ii)より $$0=(\vec a+2\vec b+3\vec c)\cdot\vec a =|\vec a|^2+2k+3k.$$ したがって $|\vec a|^2=-5k$ である。

3)(b) 条件(i)に $\vec b$ および $\vec c$ をそれぞれ内積すると， $$k+2|\vec b|^2+3k=0,\qquad k+2k+3|\vec c|^2=0,$$ よって $|\vec b|^2=-2k$，$|\vec c|^2=-k$ である。$k=\vec a\cdot\vec b\neq0$ なので $\vec b\neq\vec0$ であり，$|\vec b|^2>0$ から $k<0$ と分かる。したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec b\cdot\vec c}{|\vec b||\vec c|} =\frac{k}{\sqrt{-2k}\sqrt{-k}}=-\frac1{\sqrt2}.$$ $0\leq\theta\leq\pi$ より $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$ である。

4) 全ての配り方は $n!$ 通りである。特定の $j$ 人が自分の持参品を受け取ると決めたとき，残りの品の配り方は $(n-j)!$ 通りであり，そのような人の選び方は $\displaystyle \binom nj$ 通りである。包除原理により，自分の品を受け取る人がいない配り方は $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj(n-j)! =n!\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{(-1)^j}{j!}$$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} (a)\quad n=3:&\quad 3!\left(1-1+\frac12-\frac16\right)=2,\\ (b)\quad n=4:&\quad 4!\left(1-1+\frac12-\frac16+\frac1{24}\right)=9,\\ (c)\quad n=5:&\quad 5!\left(1-1+\frac12-\frac16+\frac1{24}-\frac1{120}\right)=44. \end{aligned}$$