1東海大学 2022年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1) ベクトルの内積を用いると $$\displaystyle |\vec a+t\vec b|^2=|\vec a|^2+2t(\vec a\cdot\vec b)+t^2|\vec b|^2 =9+14t+25t^2 =25\left(t+\frac7{25}\right)^2+\frac{176}{25}.$$ 従って最小となるのは $\displaystyle t=-\frac7{25}$ である。

(2) 3人に渡す冊数を (x,y,z) とすると、$x+y+z=7$、$x,y,z\ge1$。$x'=x-1,\quad y'=y-1,\quad z'=z-1$ と置けば、非負整数解 $x'+y'+z'=4$ の個数は $$\displaystyle \binom{4+3-1}{3-1}=\binom62=15.$$ 従って ($\boxed{15}$) 通り。

(3) $y=\sin x$ と置けば $-1\le y\le1$ で $y^2+y=k$ となる。関数 $\displaystyle y^2+y=(y+\frac12)^2-\frac14$ は $-1\le y\le1$ で最小値 $\displaystyle -\frac14$ をとり、$y=-1$ では0、$y=1$ では2である。 $$\displaystyle -\frac14<k<0$$ のとき方程式 $y^2+y=k$ の2解はともに $-1<y<0$ にある。それぞれの (y) 値は $0\le x<2\pi$ で正弦方程式に2解ずつ対応するので、相異なる解は合計4個となる。端点 $\displaystyle k=-\frac14$ では1つの (y) 値から2解、$k=0$ では $y=-1,\ 0$ から合計3解であり、それ以外の範囲では4個にならない。従って $$\displaystyle \boxed{-\frac14<k<0}.$$

(4) 連続する (k) 個の整数の和より $$\displaystyle \frac{k(2n+k-1)}2=50,\qquad n=\frac{100/k-k+1}{2}.$$ (n) が正の整数となるには (k) は100の2以上の約数である。$k\in\{2,4,5,10,20,25,50,100\}$ を順に代入すると、正の整数 (n) となるのは $k=4$ で $n=11$、$k=5$ で $n=8$ の場合だけである。条件 $(\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{カ}})$ に合わせると $$(n,k)=(8,5),(11,4).$$ 従って $(\boxed{\text{エ}}=8,\ \boxed{\text{オ}}=5,\ \boxed{\text{カ}}=11,\ \boxed{\text{キ}}=4)$。

(5) $P=(u,u^2)$ と置く。直線 (AB) は $y=x-4$、長さは $4\sqrt2$ である。点 (P) と直線 (AB) の距離は $$\displaystyle \frac{|u-u^2-4|}{\sqrt2}=\frac{u^2-u+4}{\sqrt2},$$ ここで $\displaystyle u^2-u+4=(u-\frac12)^2+\frac{15}{4}>0$。従って三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot4\sqrt2\cdot\frac{u^2-u+4}{\sqrt2} =2\left\{\left(u-\frac12\right)^2+\frac{15}{4}\right\}.$$ 最小値は ($\boxed{15/2}$)。

(6) (f) が3次以上なら、$\displaystyle f'(x)\text{ と }f'(x)-\frac32x$ はともに次数 $\deg f-1$ であり、その積の次数は $2\deg f-2>\deg f$ となる。一方、右辺 $\displaystyle \left(f(x)+\frac92x+4\right)$ の次数は $\deg f$ であるから等式は成立しない。従って $f(x)=Ax^2+Bx+C$ とおける。条件 $f(0)=5$ から $C=5$ であり、係数を比較すると $$4A^2-3A=A,\qquad (4A-3/2)B=B+9/2,\qquad B^2=C+4=9.$$ 第1式より $A=0$ または $A=1$。(A=0) なら第2式は $\displaystyle B=-\frac95$ となり $B^2=9$ に反する。$A=1$ なら第2式から $B=3$ で、第3式にも合う。よって $$\boxed{f(x)=x^2+3x+5}.$$ 代入すると左辺も右辺も $\displaystyle x^2+\frac{15}{2}x+9$ となり、条件を満たす。