3東海大学 2022年 2日目 数学 第3問解答・解説

以下、通常の入試数学の記法に従い、$\log x=\ln x$ とする。

(1) $t=\ln x$ とおくと $$\displaystyle f(x)=t^2-t=\left(t-\frac12\right)^2-\frac14,$$ より、最小値は $\displaystyle -\frac14$、そのとき $\displaystyle t=\frac12$、すなわち $x=\sqrt e$ である。また $$\displaystyle f'(x)=\frac{2\ln x-1}{x},\qquad f''(x)=\frac{3-2\ln x}{x^2}.$$ したがって $f''$ は $x=e^{3/2}$ の前後で正から負に変わる。このとき $f(e^{3/2})=(3/2)^2-3/2=3/4$ だから、変曲点は $(e^{3/2},3/4)$。

(2) $f(x)=0$ は $\ln x=0,1$、すなわち $x=1,e$ であり、その間では $f(x)<0$。よって面積は $$\displaystyle \int_1^e -f(x)\,dx=\int_1^e\{\ln x-(\ln x)^2\}\,dx.$$ 原始関数は $x\{- (\ln x)^2+3\ln x-3\}$ なので、面積は $$\left[x\{- (\ln x)^2+3\ln x-3\}\right]_1^e=3-e.$$

(3) $H(x)=f(x)/x$ とおく。$t=\ln x$ とすれば $$\displaystyle H(x)=e^{-t}(t^2-t),\qquad H'(x)=\frac{-t^2+3t-1}{x^2}.$$ $H'(x)=0$ となるのは $t=a=(3-\sqrt5)/2$, $b=(3+\sqrt5)/2$ のときである。符号は、$t<a$ で負、$a<t<b$ で正、$t>b$ で負。さらに $$H(e^a)=(2-\sqrt5)e^{-a}<0,\quad H(e^b)=(2+\sqrt5)e^{-b}>0,$$ かつ $x\to0+$ で $H(x)\to+\infty$、$x\to\infty$ で（問題文で使用可とされた極限より）$H(x)\to0+$。従って水平線 $y=k$ がグラフ $y=H(x)$ と異なる3点で交わるのは、$0<k<H(e^b)$ のとき、かつそのときに限る。境界 $k=0$ では解は $x=1,e$ の2個、$k=H(e^b)$ では極大点で接するため異なる解は2個である。よって $$0<k<(2+\sqrt5)e^{-(3+\sqrt5)/2}.$$

(4) (1) より逆関数の定義域側は $x\ge\sqrt e$、すなわち $t=\ln x\ge1/2$ である。$f(x)=6$ は $t^2-t=6$、すなわち $t=3,-2$ だが、この範囲で選ばれるのは $t=3$。従って $g(6)=e^3$。また逆関数の微分と $f'(e^3)=5/e^3$ より $$\displaystyle g'(6)=\frac1{f'(g(6))}=\frac{e^3}{5}.$$

(5) $f(x)=6$ の交点は $\ln x=-2,3$、すなわち $x=e^{-2},e^3$。この区間では $f(x)\le6$。半径 $x$、高さ $6-f(x)$ の円筒殻で積分し、$t=\ln x$ と置換すると $$\displaystyle V=2\pi\int_{e^{-2}}^{e^3}x\{6-f(x)\}\,dx =2\pi\int_{-2}^{3}e^{2t}(6-t^2+t)\,dt.$$ 原始関数は $e^{2t}(-t^2/2+t+5/2)$ だから $$\displaystyle V=2\pi\left[e^{2t}\left(-\frac{t^2}{2}+t+\frac52\right)\right]_{-2}^{3} =2\pi\left(e^6+\frac{3}{2e^4}\right) =2\pi e^6+\frac{3\pi}{e^4}.$$