2東海大学 2022年 2日目 数学 第2問解答・解説

自然数$a$の正の約数の逆数の和を$f(a)$とする。互いに素な$u,v$について、$uv$の各約数は一意に$d e\ (d\mid u,\ e\mid v)$と表せるから、$f(uv)=f(u)f(v)$。また、素数$p$、正整数$e$に対して $$\displaystyle f(p^e)=1+\frac1p+\cdots+\frac1{p^e}=\frac{1-p^{-(e+1)}}{1-p^{-1}}.$$

(1) $28=2^2\cdot7$、$6000=2^4\cdot3\cdot5^3$より $$\displaystyle f(28)=\left(1+\frac12+\frac14\right)\left(1+\frac17\right)=2,$$ $$\displaystyle f(6000)=\frac{31}{16}\cdot\frac43\cdot\frac{156}{125}=\frac{403}{125}.$$

(2) 有限等比和から $$\displaystyle f(2^n)=2-\frac1{2^n},\qquad f(6^n)=f(2^n)f(3^n)=\left(2-\frac1{2^n}\right)\left(\frac32-\frac1{2\cdot3^n}\right).$$

(3) 合成数$a\le300$の最大の素因数を$p$とすると$2p\le a\le300$なので$p\le149$。$1,p$は$a$の約数だから$f(a)\ge1+1/p\ge1+1/149>1+1/293$。一方、素数$a$なら$f(a)=1+1/a$である。$293$は$\sqrt{293}<18$以下の素数$2,3,5,7,11,13,17$のいずれでも割れず、素数であり、$294$から$300$まではすべて合成数である。したがって範囲内の最大の素数は$293$で、最小値は$f(293)=294/293$。

(4) $f(a)=\sigma(a)/a$（$\sigma(a)$は約数の和）であり、$60/29$は既約だから$29\mid a$。$a=29^e m$、$29\nmid m$とする。$e\ge2$なら$a\ge841$。$e=1$なら$f(a)=f(29)f(m)=(30/29)f(m)$なので$f(m)=2$。$m\le28$では素数冪について$f(m)<p/(p-1)\le2$。素数冪でない合成数の値を調べると $$\begin{array}{c|rrrrrr} m&6&10&12&14&15&18\\\hline f(m)&2&9/5&7/3&12/7&8/5&13/6\\[2pt] m&20&21&22&24&26&28\\\hline f(m)&21/10&32/21&18/11&5/2&21/13&2 \end{array}$$ となる。よって$f(m)=2$となる最初の二つは$m=6,28$。対応する$a$は$174,812$で、いずれも$841$未満だから、求める二つである。

(5) $\gcd(315,143)=1$より$f(a)=315/143$なら$143\mid a$。$a=143m<1144$なら$m\le7$で$\gcd(m,143)=1$。したがって $$\displaystyle f(a)=f(11)f(13)f(m)=\frac{168}{143}f(m)$$ より$f(m)=15/8$が必要である。しかし$m=1,2,\ldots,7$の値は$1,3/2,4/3,7/4,6/5,2,8/7$で、いずれも$15/8$でない。$f(8)=15/8$なので最小の解は$a=143\cdot8=1144$。