5大阪医科薬科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

$n!$ の末尾に9進法で $0$ が $t$ 個並ぶことは、$9^t$ が $n!$ を割り切ることと同値である。$V_3(n!)$ を $n!$ に含まれる素因数3の個数とすると $$\displaystyle f(n)=\left\lfloor\frac{V_3(n!)}2\right\rfloor.$$ $1$ から $n$ までの整数のうち、3の倍数からは少なくとも3が1個、9の倍数からはさらに1個、27の倍数からはさらに1個、と数えることで $$\displaystyle V_3(n!)=\left\lfloor\frac n3\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{3^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{3^3}\right\rfloor+\cdots$$ を得る（$3^j>n$ の項は0である）。

(1) $8!=1\cdot2\cdots8$ に含まれる3の個数は $\lfloor8/3\rfloor=2$ なので $f(8)=1$。 $$\displaystyle \begin{aligned} V_3(6789!)&=\left\lfloor\frac{6789}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{27}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{81}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{6789}{243}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{729}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{2187}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{6789}{6561}\right\rfloor\\ &=2263+754+251+83+27+9+3+1=3391. \end{aligned}$$ よって $f(6789)=\lfloor3391/2\rfloor=1695$。

(2) $f(n)=k$ ならば $2k\le V_3(n!)$。$3^J\le n<3^{J+1}$ となる整数 $J$ をとると $$\displaystyle V_3(n!)\le\sum\limits _{j=1}^{J}\frac{n}{3^j} =\frac n2\left(1-\frac1{3^J}\right)<\frac n2.$$ 従って $2k<n/2$、すなわち $4k<n$。

(3) $n=4007$ と $n=4008$ について順に計算すると $$V_3(4007!)=1335+445+148+49+16+5+1=1999,$$ $$V_3(4008!)=1336+445+148+49+16+5+1=2000.$$ したがって $f(4007)=999$、$f(4008)=1000$。$V_3(n!)$ は $n$ とともに減少しないため $f(n)$ も減少しない。よって $f(n)=1000$ となる最小の正整数は $4008$ である。