4大阪医科薬科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

カードを引くたびに戻すので、各回の数字は独立に $1,2,3$ のいずれかとなる。最初の回では、文字 $\bigcirc$ になるのは数字1を引いて点が $A$ に置かれる場合だけで、その確率は $1/3$。以後は、どの頂点からでも数字 $1,2,3$ による移動先は $A,B,C$ の3頂点に1つずつ対応する。従って過去の移動にかかわらず次の文字は $\bigcirc$ が確率 $1/3$、$\times$ が確率 $2/3$ で生じる。各回のカードは独立なので、文字列の各位置も独立で同じ確率分布をもつ。

(1) 長さ2の文字列が条件を満たさないのは $\times\times$ の場合だけなので $$\displaystyle p_2=1-\left(\frac23\right)^2=\frac59.$$ 長さ3では $$\displaystyle p_3=\frac13p_2+\frac29p_1=\frac13\cdot\frac59+\frac29=\frac{11}{27},$$ 長さ4では $$\displaystyle p_4=\frac13p_3+\frac29p_2=\frac{11}{81}+\frac{10}{81}=\frac7{27},$$ ただし補助的に $p_1=1$ とした。

(2) 有効な長さ $n+1$ の文字列は、最後が $\bigcirc$ のものと、末尾が $\bigcirc\times$ のものに分けられる。前者の確率は $p_n/3$、後者の確率は $p_{n-1}(1/3)(2/3)$ なので、$n\ge2$ で $$\displaystyle p_{n+1}=\frac13p_n+\frac29p_{n-1}.$$ 特性方程式は $$\displaystyle \lambda^2-\frac13\lambda-\frac29=0$$ であり、根は $2/3,-1/3$。よって $$\displaystyle p_n=A\left(\frac23\right)^{n-1}+B\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$ $p_1=1$、$p_2=5/9$ を代入すると $A+B=1$、$2A/3-B/3=5/9$ だから $A=8/9$、$B=1/9$。したがって $$\displaystyle p_n=\frac89\left(\frac23\right)^{n-1}+\frac19\left(-\frac13\right)^{n-1} =\frac{2^{n+2}-(-1)^n}{3^{n+1}}\quad(n\ge2).$$ この式に $n=2,3,4$ を代入すると、上で求めた値と一致する。