1獨協医科大学 2021年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1) 二次関数の最小値・最大値

平方完成すると $$f(x)=(x-2a)^2+2a^2-6a-11.$$ $0<a\le2$ なら頂点 $x=2a$ は$a\le x\le a+2$ の範囲内にあり、最小値は頂点で、最大値は両端のうち頂点から遠い方でとる。$a>2$ なら $2a>a+2$ なので、区間上では $(x-2a)^2$ は $x$ が増すにつれて減り、最大値は $x=a$、最小値は $x=a+2$ でとる。

(i) $a=3>2$ だから $$f(a)=3a^2-6a-11=-2,\qquad f(a+2)=3a^2-10a-7=-10.$$ 従って $m=-10,\ M=-2$ であり、$\text{アイ}=10$、$\text{ウ}=-,\ \text{エ}=2$。

(ii) $0<a\le2$ の場合、最小値は $$f(2a)=2a^2-6a-11=2a(a-3)-11<0$$ なので $m=0$ にはならない。$a>2$ では $m=f(a+2)=3a^2-10a-7$ である。これを0とおくと $$\displaystyle a=\frac{10\pm\sqrt{184}}6=\frac{5\pm\sqrt{46}}3.$$ $a>2$ を満たすのは $a=(5+\sqrt{46})/3$ だけである。よって $\text{オ}=5,\ \text{カキ}=46,\ \text{ク}=3$。

(iii) $0<a\le2$ では最大値は端点でとるが、 $$f(a)=3a(a-2)-11<0,\qquad f(a+2)=a(3a-10)-7<0$$ だから $M<0$ である。$a>2$ では $M=f(a)=3a^2-6a-11$。従って $$\displaystyle a=\frac{6\pm\sqrt{168}}6=\frac{3\pm\sqrt{42}}3.$$ $a>2$ を満たすのは $a=(3+\sqrt{42})/3$ である。よって $\text{ケ}=3,\ \text{コサ}=42,\ \text{シ}=3$。

(2) 球を移す操作

状態を $(Aの赤球数,Aの白球数;Bの赤球数,Bの白球数)$ と表す。1回目の抽出後の状態と確率は、抽出した色の順を(A,B)として $$\begin{array}{c|c|c} (A,B)&1回目後の状態&確率\\ \hline (赤,赤)&(4,2;1,3)&(3/5)(2/5)=6/25\\ (赤,白)&(3,2;2,3)&(3/5)(3/5)=9/25\\ (白,赤)&(4,1;1,4)&(2/5)(2/5)=4/25\\ (白,白)&(3,1;2,4)&(2/5)(3/5)=6/25 \end{array}$$ となる。特に、Aが赤・Bが白のときだけ移動がなく、元の状態が保たれるから $$\displaystyle \text{(i)}\quad \frac35\cdot\frac35=\frac9{25}.$$

Aの白球は操作によってAから出ることはあってもAへ戻ることはない。したがって2回後もAの白球が2個であるには、両方の操作でAから赤球を取り出す必要がある。1回目が(赤,赤)なら、その後Aは赤4個・白2個なので、2回目にAから赤球を取る確率は $4/6$。1回目が(赤,白)なら状態は変わらず、その確率は $3/5$。他の2通りではAの白球が1個に減る。よって $$\displaystyle \text{(ii)}\quad \frac6{25}\cdot\frac46+\frac9{25}\cdot\frac35=\frac{47}{125}.$$

2回後にAの白球が0個となるには、2回ともAから白球を取り出さなければならない。1回目にBから赤球を取った場合は確率 $4/25$ で、その後Aは赤4個・白1個となるため、2回目に白球を取る確率は $1/5$。1回目にBから白球を取った場合は確率 $6/25$ で、その後Aは赤3個・白1個となるため、2回目に白球を取る確率は $1/4$。従って条件事象の確率は $$\displaystyle \frac4{25}\cdot\frac15+\frac6{25}\cdot\frac14=\frac{23}{250}.$$ このうち1回目にBから白球を取った場合の確率は $\displaystyle \frac6{25}\cdot\frac14=\frac3{50}$ なので $$\displaystyle \text{(iii)}\quad \frac{3/50}{23/250}=\frac{15}{23}.$$ 以上より、各空欄は $$\text{アイ}=10,\ \text{ウ}=-,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=5,\ \text{カキ}=46,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=3,\ \text{コサ}=42,\ \text{シ}=3,\ \text{ス}=9,\ \text{セソ}=25,\ \text{タチ}=47,\ \text{ツテト}=125,\ \text{ナニ}=15,\ \text{ヌネ}=23.$$