I関西医科大学 2021年 数学 第I問解答・解説

関西医科大学 2021 大問Ⅰ — 解答（A）

(1) 外心・垂心・内分点

$$|\vec a|=5,\qquad |\vec b|=4,\qquad |\vec a-\vec b|=\sqrt{21}$$ より、内積は $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b =\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2}{2} =\frac{25+16-21}{2}=10.$$

外心 $P$ について $|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{AP}|$ なので $2\overrightarrow{OP}\cdot\vec a=|\vec a|^2=25$。同様に $2\overrightarrow{OP}\cdot\vec b=|\vec b|^2=16$。 $\overrightarrow{OP}=u\vec a+v\vec b$ とおけば $$\displaystyle 25u+10v=\frac{25}{2},\qquad 10u+16v=8.$$ これを解くと $u=2/5,\ v=1/4$ であるから $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac25\vec a+\frac14\vec b.$$

垂心 $H$ からは $AH\perp OB$、$BH\perp OA$ である。従って $$\overrightarrow{OH}\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec b=10,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot\vec a=\vec a\cdot\vec b=10.$$ $\overrightarrow{OH}=s\vec a+t\vec b$ とおくと $$25s+10t=10,\qquad 10s+16t=10,$$ より $s=1/5,\ t=1/2$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac15\vec a+\frac12\vec b.$$

$PD:DH=1:2$ だから、内分点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OH}}3 =\frac13\vec a+\frac13\vec b.$$ 三角形 $OAB$ の重心の位置ベクトルは $(\vec0+\vec a+\vec b)/3$ なので、$D$ は重心である。従って $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac25,\ \text{イ}=\frac14,\ \text{ウ}=\frac15,\ \text{エ}=\frac12,\ \text{オ}=\frac13,\ \text{カ}=\frac13,\ \text{キ}=\text{重心}}.$$

(2) 整数解と図示

$m=|x|$ とおくと $m$ は0以上の整数で、 $$\displaystyle x^2-|x|y+y^2=m^2-my+y^2 =\left(y-\frac m2\right)^2+\frac{3m^2}{4}=3.$$ 従って $3m^2/4\le3$、すなわち $m\le2$。場合分けする。

- $m=0$：$y^2=3$ となり整数解なし。 - $m=1$：$y^2-y-2=0$、すなわち $(y-2)(y+1)=0$ より $y=2,-1$。それぞれ $x=\pm1$。 - $m=2$：$y^2-2y+1=0$、すなわち $(y-1)^2=0$ より $y=1$。$x=\pm2$。

したがって整数解は $$\boxed{\{(-2,1),(-1,-1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,1)\}}.$$ 図示する点は次の6点である。 $$\begin{array}{c|ccccc} y\backslash x&-2&-1&0&1&2\\ \hline 2& &\bullet&&\bullet&\\ 1&\bullet&&&&\bullet\\ 0&&&&&\\ -1&&\bullet&&\bullet& \end{array}$$ 従って $\boxed{\text{ク}=\text{上記6組},\ \text{ケ}=\text{上記の点の図}}$。

(3) 検査結果と病気の確率

病気を $D$、陽性を $+$ とする。条件付き確率は $$\displaystyle P(+\mid D)=\frac34,\qquad P(+\mid \overline D)=1-\frac{19}{20}=\frac1{20}.$$

A地域では $P(D)=1/56$、$P(\overline D)=55/56$。全確率の公式から $$\displaystyle P(+)=\frac34\cdot\frac1{56} +\frac1{20}\cdot\frac{55}{56} =\frac3{224}+\frac{55}{1120} =\frac1{16}.$$ 陽性時に実際に病気である確率は $$\displaystyle P(D\mid+)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+)} =\frac{3/224}{1/16}=\frac3{14}.$$

B地域の有病率を $p$ とおく。陽性率 $3/20$ より $$\displaystyle \frac34p+\frac1{20}(1-p)=\frac3{20}.$$ 両辺を20倍すると $15p+1-p=3$、従って $p=1/7$。また $$\displaystyle P(D\mid+) =\frac{(3/4)(1/7)}{3/20} =\frac57.$$ いずれも既約分数であるから $$\displaystyle \boxed{\text{コ}=\frac1{16},\quad \text{サ}=\frac3{14},\quad \text{シ}=\frac17,\quad \text{ス}=\frac57}.$$

使用解法

三角形の辺長から内積を求め、外心の等距離条件と垂心の垂直条件を連立方程式にした。整数問題は平方完成と場合分け、確率問題は全確率の公式とベイズの公式で解いた。