II関西医科大学 2021年 数学 第II問解答・解説

関西医科大学 2021 大問Ⅱ — 解答（A）

$$\displaystyle \alpha=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$$ とおくと、三角関数の加法定理から $\alpha^7=1$、$\alpha\ne1$ である。従って $$1+\alpha+\alpha^2+\cdots+\alpha^6=0.$$

(1) $\beta+\gamma,\ \beta\gamma$

$$\beta+\gamma=\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1.$$ また、$\alpha^7=1$ を使って積を展開すると $$\begin{aligned} \beta\gamma &=(\alpha+\alpha^2+\alpha^4)(\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6)\\ &=(\alpha^4+\alpha^6+1)+(\alpha^5+1+\alpha)+(1+\alpha^2+\alpha^3)\\ &=3+(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6)=2. \end{aligned}$$ よって $$\boxed{\beta+\gamma=-1,\qquad\beta\gamma=2}.$$

(2) $\beta,\gamma$

$\beta,\gamma$ は和が $-1$、積が2であるから、これらを根とする2次方程式は $$z^2+z+2=0.$$ 解の公式より $$\displaystyle z=\frac{-1\pm i\sqrt7}{2}.$$ どちらが $\beta$ かを判定する。$\overline{\alpha}=\alpha^{-1}=\alpha^6$ なので、$\overline\beta=\alpha^6+\alpha^5+\alpha^3=\gamma$。従って $\gamma=\overline\beta$ であり、 $$\displaystyle \operatorname{Im}\beta =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} =\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}>0.$$ 実際、$\sin(2\pi/7)>\sin(\pi/7)$ であり、$\sin(4\pi/7)>0$ だからである。従って $$\displaystyle \boxed{\beta=\frac{-1+i\sqrt7}{2},\qquad \gamma=\frac{-1-i\sqrt7}{2}}.$$

(3) 三角関数の値

第1の和は $\operatorname{Im}\beta$ なので、(2)より $$\displaystyle \boxed{\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7} =\frac{\sqrt7}{2}}.$$

積について、加法定理から $$2\sin x\sin3x=\cos2x-\cos4x.$$ これに $2\sin2x$ を掛け、積和公式を使うと $$4\sin x\sin2x\sin3x =\sin2x+\sin4x-\sin6x.$$ $x=\pi/7$ とすれば $\sin(6\pi/7)=\sin(\pi/7)$、また $\sin(8\pi/7)=-\sin(\pi/7)$ だから、右辺は第1の和と等しい。従って $$\displaystyle 4\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7} =\frac{\sqrt7}{2},$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7} =\frac{\sqrt7}{8}}.$$

使用解法

7乗根の累乗と等比和から $\alpha$ の関係式を導き、積を指数の和で展開した。二次方程式で $\beta,\gamma$ を求め、複素共役と虚部の符号で根を割り当てた。積和公式で三角関数の積を先に求めた和へ結び付けた。