III慶應義塾大学 2018年 数学 第III問解答・解説

A答案 Q3 — 慶應義塾大学 2018

(1) 積和公式と面積

積和公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\sin x\sin2x\sin3x\\ &=\frac12(\cos2x-\cos4x)\sin2x\\ &=\frac14\sin2x+\frac14\sin4x-\frac14\sin6x. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \text{あ}=\frac14,\ \text{い}=\frac14,\ \text{う}=-\frac14$。

$f(x)=0$ の最小の正の根は $\displaystyle p=\frac\pi3$（因子 $\sin3x$ が最初に0となる）。区間 $\displaystyle 0<x<\frac\pi3$ では3つの正弦因子は正なので、囲まれた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/3}f(x)\,dx &=\left[-\frac18\cos2x-\frac1{16}\cos4x+\frac1{24}\cos6x\right]_0^{\pi/3}\\ &=\boxed{\frac9{32}}. \end{aligned}$$

(2) $g(x)$ の展開と値

$\displaystyle \sin A\sin B=\frac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$ を各項に使うと $$\displaystyle \begin{aligned} g(x) &=-\frac12(\cos x-\cos3x) +\frac12(\cos x-\cos5x) -\frac12(\cos2x-\cos4x)\\ &=-\frac12(\cos2x+\cos5x)+\frac12\cos3x+\frac12\cos4x. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \text{お}=-\frac12,\ \text{か}=\frac12,\ \text{き}=\frac12$。また $$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=0,\qquad \cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0$$ なので $$\displaystyle \boxed{g\!\left(\frac\pi7\right)=0}.$$

(3) $A,B,C$ の関係と指定角

$$\displaystyle A^2=\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2C =\frac{3-B}{2}+2C.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{C=\frac{2A^2+B-3}{4}}.$$

指定角では、$z=e^{2\pi i/7}$ は $z^7=1,\ z\ne1$。等比数列の和から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^7z^k=z\frac{1-z^7}{1-z}=0,$$ よって $\text{こ}=0$。一方、$1+z+\cdots+z^6=0$ なので、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^6z^k=-1$。

実部を取り、共役な項を組にすると $$\displaystyle 0=1+2\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right),$$ 従って $\displaystyle \text{さ}=B=-\frac12$。また指定角に対する $\displaystyle C=g(\frac\pi7)=0$ だから $$\displaystyle 0=\frac{2A^2-\frac12-3}{4} \quad\text{したがって}\quad A^2=\frac74.$$ $$\displaystyle A=\sin\frac\pi7-\sin\frac{2\pi}7-\sin\frac{3\pi}7<0$$ （$\displaystyle \sin\frac{3\pi}7>\sin\frac\pi7$ かつ $\displaystyle \sin\frac{2\pi}7>0$）なので $\displaystyle A=-\frac{\sqrt7}{2}$。従って $\displaystyle \text{し}=-\frac{\sqrt7}{2}$。

(1) の恒等式と $\displaystyle \sin\frac{4\pi}7=\sin\frac{3\pi}7,\ \sin\frac{6\pi}7=\sin\frac\pi7$ より $$\displaystyle f\!\left(\frac\pi7\right) =\frac14\left(\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{3\pi}7-\sin\frac\pi7\right) =-\frac A4 =\boxed{\frac{\sqrt7}{8}}.$$ 従って $\displaystyle \text{す}=\frac{\sqrt7}{8}$。

最終答案

(1) $\displaystyle \text{あ}=\frac14,\ \text{い}=\frac14,\ \text{う}=-\frac14,\ \text{え}=\frac9{32}$。 (2) $\displaystyle \text{お}=-\frac12,\ \text{か}=\frac12,\ \text{き}=\frac12,\ \text{く}=0$。 (3) $\displaystyle \text{け}=\frac{2A^2+B-3}{4},\ \text{こ}=0,\ \text{さ}=-\frac12,\ \text{し}=-\frac{\sqrt7}{2},\ \text{す}=\frac{\sqrt7}{8}$。

使用解法：積和公式、三角関数の零点と符号、定積分、平方和と倍角公式、等比数列の和、共役根の実部。 issues：なし。