II慶應義塾大学 2018年 数学 第II問解答・解説

A答案 Q2 — 慶應義塾大学 2018

(1) 状態遷移

袋Bに3枚あるとき、袋A・Bから同番号を引く確率は、共通番号1,2のそれぞれについて $\displaystyle \frac1k\cdot\frac13$ なので $\displaystyle \frac{2}{3k}$。一致すればBの枚数は2枚に減るため $$\displaystyle a_n(k)=\left(1-\frac{2}{3k}\right)a_{n-1}(k).$$

Bが2枚の状態では、以前に一致した番号を $i$（1または2）とすると、その番号のカードがAに移り、Aには $k+1$ 枚、Bには $i$ 以外の2枚がある。AとBで一致する番号の組は1組だけ（$k\geq2$）なので、次回もBが2枚である確率は $$\displaystyle 1-\frac{1}{2(k+1)}.$$ Bが3枚から2枚に変わる確率は $\displaystyle \frac{2}{3k}$。従って $$\displaystyle \begin{cases} a_n(k)=\left(1-\frac{2}{3k}\right)a_{n-1}(k),\\[2mm] b_n(k)=\frac{2}{3k}a_{n-1}(k)+\left(1-\frac{1}{2(k+1)}\right)b_{n-1}(k). \end{cases}$$ よって $\displaystyle \text{あ}=1-\frac{2}{3k},\ \text{い}=\frac{2}{3k},\ \text{う}=1-\frac{1}{2(k+1)}$。

操作前を $a_0(k)=1,\ b_0(k)=0$ とすると $$\displaystyle a_n(k)=\left(1-\frac{2}{3k}\right)^n.$$ 従って標準極限 $\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}(1+c/k)^k=e^c$ により $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{k\to\infty}a_k(k)=e^{-2/3}}.$$ ここで $\displaystyle \text{え}=(1-\frac{2}{3k})^n,\ \text{お}=e^{-2/3}$。

(3) $k=3$

このとき $$\displaystyle a_n(3)=\left(\frac79\right)^n,\qquad b_n(3)=\frac29a_{n-1}(3)+\frac78b_{n-1}(3),\qquad b_0(3)=0.$$ 漸化式を繰り返し代入して $$\displaystyle \begin{aligned} b_n(3) &=\frac29\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac78\right)^{n-1-j}\left(\frac79\right)^j\\ &=\frac{16}{7}\left\{\left(\frac78\right)^n-\left(\frac79\right)^n\right\}\\ &=\frac{16}{7}\left(\frac78\right)^n \left\{1-\left(\frac89\right)^n\right\}. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle \text{か}=\frac{16}{7},\ \text{き}=\frac78,\ \text{く}=\frac89$。

最終答案

(1) $\displaystyle \text{あ}=1-\frac{2}{3k},\ \text{い}=\frac{2}{3k},\ \text{う}=1-\frac{1}{2(k+1)}$。 (2) $\displaystyle \text{え}=(1-\frac{2}{3k})^n,\ \text{お}=e^{-2/3}$。 (3) $\displaystyle b_n(3)=\frac{16}{7}(\frac78)^n\{1-(\frac89)^n\}$。

使用解法：状態遷移と条件付き確率、漸化式、標準的な指数極限、等比数列の和。 issues：なし。