東京大学 2014年数学第2問解答・解説

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1問題

東京大学2014年度第2問

$\displaystyle a$ を自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。白球と赤球があわせて1個以上入っている袋 $\displaystyle U$ に対して，次の操作(*)を考える。 (*) 袋 $\displaystyle U$ から球を1個取り出し，

(i) 取り出した球が白球のときは，袋 $\displaystyle U$ の中身が白球 $\displaystyle a$ 個，赤球1個となるようにする。

(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋 $\displaystyle U$ へ戻すことなく，袋 $\displaystyle U$ の中身はそのままにする。はじめに袋 $\displaystyle U$ の中に，白球が $\displaystyle a+2$ 個，赤球が1個入っているとする。この袋 $\displaystyle U$ に対して操作(*)を繰り返し行う。たとえば，1回目の操作で白球が出たとすると，袋 $\displaystyle U$ の中身は白球 $\displaystyle a$ 個，赤球1個となり，さらに2回目の操作で赤球が出たとすると，袋 $\displaystyle U$ の中身は白球 $\displaystyle a$ 個のみとなる。 $\displaystyle n$ 回目に取り出した球が赤球である確率を $\displaystyle p_n$ とする。ただし，袋 $\displaystyle U$ の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

(1) $\displaystyle p_1$ , $\displaystyle p_2$ を求めよ。

(2) $\displaystyle n\ge3$ に対して $\displaystyle p_n$ を求めよ。

(3) $\displaystyle \lim\limits_{m\to\infty}\frac{1}{m}\sum\limits_{n=1}^{m}p_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

直前の取り出し色による袋の状態から確率漸化式を立て、等比数列に帰着して平均の極限を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle p_1=\frac1{a+3},\quad p_2=\frac{a+2}{(a+1)(a+3)},\quad p_n=\frac1{a+2}+\frac{(-1)^n}{(a+1)^{n-1}(a+2)(a+3)}\ (n\ge3),\quad \lim\limits_{m\to\infty}\frac1m\sum\limits_{n=1}^m p_n=\frac1{a+2}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

まず $\displaystyle p_1=\frac1{a+3}$ である。白球を取り出した直後は白球が $\displaystyle a$ 個、赤球が1個あり、赤球を取り出した直後は赤球が残らない。したがって、次に赤球を取り出す確率は、直前が白球なら $\displaystyle \frac1{a+1}$ 、赤球なら0である。 $\displaystyle \begin{aligned}p_{n+1}&=(1-p_n)\frac1{a+1}+p_n\cdot0=\frac{1-p_n}{a+1}\quad(n\ge1).\\p_2&=\frac{1-p_1}{a+1}=\frac{a+2}{(a+1)(a+3)}.\\c&=\frac1{a+2},\quad r=-\frac1{a+1},\quad c=\frac{1-c}{a+1}.\\p_n-c&=r^{n-1}(p_1-c)=\frac{(-1)^n}{(a+1)^{n-1}(a+2)(a+3)},\\p_n&=\frac1{a+2}+\frac{(-1)^n}{(a+1)^{n-1}(a+2)(a+3)}.\\\frac1m\sum\limits_{n=1}^m p_n&=c+\frac{p_1-c}{m}\frac{1-r^m}{1-r}\longrightarrow c=\frac1{a+2}.\end{aligned}$ ここで $\displaystyle a\ge1$ より $\displaystyle |r|<1$ であり、 $\displaystyle \frac{1-r^m}{1-r}$ は有界であるから、これを $\displaystyle m$ で割った値は0に近づく。

この問題で使う考え方

条件付き確率
確率の基本法則
等比数列の一般項と和
漸化式
総和記号と数列の和
数列の極限

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