4東京大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) 0<x<1より、$0<1-p<1$、$0<e^{-qx}<1$である。したがって $$0<(1-p)x<x,\qquad 0<(1-x)(1-e^{-qx})<1-x.$$ 両辺を加えると$0<f(x)<1$を得る。

(2) 与えられた不等式に$-qx$を代入すると$1-qx\le e^{-qx}$、よって$1-e^{-qx}\le qx$である。$0<x<1$かつ$p>q$のとき $$f(x)\le(1-p)x+qx(1-x)<(1-p+q)x<x.$$ (1)から帰納的にすべての$x_n$は$0<x_n<1$を満たし、上の不等式から$x_n<x_{n-1}$である。よって$\{x_n\}$は下に有界な単調減少数列なので、ある$L\ge0$に収束する。$f$は連続であるから、漸化式の両辺の極限をとると$L=f(L)$となる。もし$L>0$なら$0<L\le x_0<1$であり、上の不等式を$x=L$に適用して$f(L)<L$を得るが、これは$L=f(L)$に反する。したがって$L=0$である。

(3) $g(x)=f(x)-x$とおくと、 $$g(0)=0,\qquad g'(x)=-p-(1-e^{-qx})+q(1-x)e^{-qx},\qquad g'(0)=q-p>0.$$ したがって$\displaystyle\lim\limits _{x\to0+}\frac{g(x)}x=q-p>0$であり、十分小さい正の$\delta<1$をとれば$g(\delta)>0$となる。一方、$g(1)=f(1)-1=-p<0$である。$g$は$\delta\le x\le1$の範囲で連続だから、中間値の定理により$\delta<c<1$かつ$g(c)=0$をみたす$c$が存在する。これは$f(c)=c$を意味する。