3琉球大学 2019年 数学 第3問解答・解説

まず，初項は正であり，正の項から定義される次の項も正なので，すべての $a_n$ は正である。したがって $b_n=\log_2 a_n$ は定義される。また，$b_1=0,\ b_2=1$ である。

問1より，対数の性質を用いると $$\displaystyle b_{n+2}=\log_2\sqrt{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac12\log_2\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac12(b_n-b_{n+1})$$ を得る。

問2の第1式を展開すると $b_{n+2}=(p+q)b_{n+1}-pq b_n$ となり，第2式からも同じ関係を得る。問1の関係と係数を比べると $\displaystyle p+q=-\frac12,\ pq=-\frac12$ である。実際，$n=1,2$ における $\displaystyle (b_n,b_{n+1})=(0,1),(1,-\frac12)$ は一次独立なので，これらの係数条件が必要である。よって $p,q$ は $x^2-(p+q)x+pq=0$，すなわち $\displaystyle x^2+\frac12x-\frac12=0$ の2解である。これを因数分解すると $\displaystyle (x-\frac12)(x+1)=0$ だから，$p\ge q$ より $\displaystyle p=\frac12,\ q=-1$ となる。

問3では，問2の関係式から $$c_{n+1}=b_{n+2}-p b_{n+1}=q(b_{n+1}-p b_n)=q c_n,\qquad d_{n+1}=b_{n+2}-q b_{n+1}=p(b_{n+1}-q b_n)=p d_n.$$ また，$c_1=d_1=1$ である。したがって，それぞれ公比 $q=-1$ および $\displaystyle p=\frac12$ の等比数列となり，$\displaystyle c_n=(-1)^{n-1},\ d_n=(\frac12)^{n-1}$ である。

問4では，$\displaystyle d_n-c_n=\frac32b_n$ だから $$\displaystyle b_n=\frac23(d_n-c_n)=\frac23\left\{\left(\frac12\right)^{n-1}-(-1)^{n-1}\right\}.$$ この式から $$\displaystyle b_{2n}=\frac23\left(2^{1-2n}+1\right)\longrightarrow\frac23,\qquad b_{2n+1}=\frac23\left(2^{-2n}-1\right)\longrightarrow-\frac23.$$ $a_n=2^{b_n}$ であるから，指数関数の連続性より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_{2n}=2^{2/3},\qquad \lim\limits _{n\to\infty}a_{2n+1}=2^{-2/3}.$$ 初項について $b_1=0$，また $b_2=1$ が一般項と一致する。さらに一般項から $\displaystyle b_3=-\frac12, b_4=\frac34$ となり，問1の漸化式に代入しても一致する。