1昭和大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1-1) $\displaystyle \xi=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}$ だから、$\xi^n=1$ である。また $n\ge2$ より $\xi\ne1$ である。したがって、等比数列の和より $$\displaystyle 1+\xi+\xi^2+\cdots+\xi^n =\frac{1-\xi^n}{1-\xi}+\xi^n =1.$$

(1-2) ド・モアブルの定理より $\displaystyle \xi^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}$ である。(1-1) の計算と同様に $$\displaystyle 1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\xi^k=\frac{1-\xi^n}{1-\xi}=0$$ となるので、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}\xi^k=-1$ である。実部と虚部をそれぞれ比較して $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=-1,\qquad \sum\limits _{k=1}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}{n}=0.$$

(2) $\vec a_1$ は $\vec a$ と平行だから、ある実数 $t$ を用いて $\vec a_1=t\vec a$ と書ける。$\vec b=\vec c+\vec a_1$ および $\vec a\cdot\vec c=0$ より $$0=\vec a\cdot(\vec b-t\vec a) =\vec a\cdot\vec b-t(\vec a\cdot\vec a).$$ $\vec a\ne\vec0$ なので $\vec a\cdot\vec a>0$ であり、$\displaystyle t=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}$ を得る。よって $$\displaystyle \vec c=\vec b-\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec a\cdot\vec a}\vec a.$$

(3) $y=f(x)$、$t=3^x$ とおくと、$x\ge0$ より $t\ge1$ であり、 $$\displaystyle y=\frac{t+t^{-1}}2,\qquad t+\frac1t-2=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0$$ だから $y\ge1$ である。逆に $y\ge1$ とすると、$t^2-2yt+1=0$ の根は $t=y\pm\sqrt{y^2-1}$ である。$y>1$ では積が $1$ の二根のうち $y+\sqrt{y^2-1}>1$、$y-\sqrt{y^2-1}<1$ であるから、条件 $t\ge1$ を満たす根は前者だけである。$y=1$ のときも根は $t=1$ となる。したがって値域は $y\ge1$ であり、$x=\log_3 t$ から $$f^{-1}(y)=\log_3\!\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\qquad(y\ge1).$$ 逆関数の変数を $x$ と書き直すと $$f^{-1}(x)=\log_3\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right),\qquad x\ge1.$$