1東海大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) 逆関数

$y=(3x+4)/(2x-1)$ とおいて $x$ について解くと、 $$\displaystyle y(2x-1)=3x+4,\qquad x(2y-3)=y+4,\qquad x=\frac{y+4}{2y-3}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{f^{-1}(x)=\frac{x+4}{2x-3}}\qquad (x\ne 3/2).$$

(2) 対数方程式

定義域は $x>0$ である。$u=\log_2x$ とおくと、 $$\displaystyle \log_2\sqrt[3]{x}=\frac{u}{3},\qquad \log_4(4x^3)=1+3\log_4x=1+\frac{3u}{2}.$$ したがって方程式は $$\displaystyle \frac{u}{3}-\left(1+\frac{3u}{2}\right)+8=0 \quad\text{すなわち}\quad -\frac76u+7=0,$$ より $u=6$。従って $$\boxed{x=2^6=64}.$$

(3) ベクトルの大きさ

内積を $\vec a\cdot\vec b$ と書くと、 $$|\vec a-2\vec b|^2 =|\vec a|^2-4\vec a\cdot\vec b+4|\vec b|^2.$$ 与えられた長さを代入して $$9=9-4\vec a\cdot\vec b+16, \qquad \vec a\cdot\vec b=4.$$ よって $$\begin{aligned} |2\vec a+\vec b|^2 &=4|\vec a|^2+4\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\\ &=4\cdot9+4\cdot4+4=56. \end{aligned}$$ 長さは正なので $$\boxed{|2\vec a+\vec b|=2\sqrt{14}}.$$

(4) 導関数

定義域は $\sin x\ne0$ である。この範囲で $$\displaystyle f(x)=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x}=2\cot x.$$ 従って $$\displaystyle f'(x)=-2\frac{1}{\sin^2x}.$$ $t=\sin x$ を代入すると $$\displaystyle \boxed{f'(x)=-\frac{2}{t^2}}.$$

(5) 数列と部分和

図の数の配置は、中心の $1$ を囲む正方形の層を外側へ一周ずつ広げる形である。第 $n$ 層の直前までに $(2n-1)^2$ 個の数が配置されているので、第 $n$ 層は $(2n-1)^2+1$ から始まる。右端の列のうち中心と同じ高さの位置は、第 $n$ 層の始点から上へ $n-1$ 個進んだ場所にある。よって $$a_n=(2n-1)^2+1+(n-1)=\boxed{4n^2-3n+1}.$$ これを $n$ 項まで足すと $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^n a_k &=4\sum\limits _{k=1}^n k^2-3\sum\limits _{k=1}^n k+n\\ &=4\frac{n(n+1)(2n+1)}6 -\frac{3n(n+1)}2+n\\ &=\boxed{\frac{n(8n^2+3n+1)}6}. \end{aligned}$$

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)&:\ f^{-1}(x)=\frac{x+4}{2x-3},& (2)&:\ x=64,\\ (3)&:\ 2\sqrt{14},& (4)&:\ -\frac2{t^2},\\ (5)(i)&:\ a_n=4n^2-3n+1,& (5)(ii)&:\ \sum\limits _{k=1}^n a_k=\frac{n(8n^2+3n+1)}6. \end{aligned}$$

使用した解法

分数関数の逆関数、対数の定義と底の変換、ベクトルの内積、三角関数の微分、平方層ごとの数え上げと和の公式を用いた。