3東海大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 定積分

(i)

展開して積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a x(x-a)(x-b)\,dx &=\int_0^a\{x^3-(a+b)x^2+abx\}\,dx\\ &=\frac{a^4}{4}-\frac{(a+b)a^3}{3}+\frac{a^3b}{2}\\ &=\boxed{\frac{a^3(2b-a)}{12}}. \end{aligned}$$

(ii)

$d=b-a$、$x=a+t$ とおく。積分区間は $t=0$ から $t=d$ までであり、 $$x(x-a)(x-b)=(t+a)t(t-d) =t^3+(a-d)t^2-adt.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_a^b x(x-a)(x-b)\,dx &=\frac{d^4}{4}+\frac{(a-d)d^3}{3}-\frac{ad^3}{2}\\ &=-\frac{d^3(d+2a)}{12} =-\frac{(b-a)^3(a+b)}{12}\\ &=\boxed{\frac{(a-b)^3(a+b)}{12}}. \end{aligned}$$ この計算は $d=b-a$ の符号を限定せずに成立する。

(2) 直線と曲線でできる図形

点 $(0,0)$、$(4,4)$ を通る直線は $y=x$ である。交点は $$x^3-3x^2-3x=x \quad\text{、すなわち}\quad x(x-4)(x+1)=0.$$ 従ってもう一つの交点は $(-1,-1)$。曲線と直線の差を $$g(x)=f(x)-x=x(x-4)(x+1)$$ とする。符号は $-1<x<0$ で正、$0<x<4$ で負である。原始関数は $$\displaystyle H(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-2x^2.$$ 二つの面積は $$\displaystyle \int_{-1}^0g(x)\,dx=H(0)-H(-1)=\frac34,$$ $$\displaystyle -\int_0^4g(x)\,dx=H(0)-H(4)=32.$$ よって大きい方は $$\boxed{32},$$ また空欄の交点座標は $\boxed{(-1,-1)}$ である。従って $S(4)=32$。

(3)(i) 原点での接線の場合

$(0,0)$ と $(a,f(a))$ を通る直線 $L$ の傾きは $$\displaystyle \frac{f(a)}a=a^2-3a-3$$ である。一方、$G$ の $x=0$ における接線の傾きは $f'(0)=-3$。従って原点で接する条件は $$a^2-3a-3=-3,\qquad a>0,$$ すなわち $a=3$ である。この直線は $y=-3x$ であり、 $$f(x)-(-3x)=x^3-3x^2=x^2(x-3).$$ $0<x<3$ でこれは負なので、囲まれる図形の面積は $$\displaystyle S(3)=-\int_0^3x^2(x-3)\,dx =-\left[\frac{x^4}{4}-x^3\right]_0^3 =\boxed{\frac{27}{4}}.$$ したがって $\displaystyle \boxed{\text{カ}=3,\ \text{キ}=\frac{27}{4}}$。

(3)(ii) $0<a<3/2$ における $S(a)$ の最小値

直線 $L$ の傾きは $a^2-3a-3$ だから、$G$ と $L$ の差は $$g_a(x)=f(x)-(a^2-3a-3)x =x(x-a)(x-(3-a)).$$ $0<a<3/2$ では交点の $x$ 座標は $0<a<3-a$ の順に並び、二つの図形ができる。左側の面積を $A_1(a)$、右側を $A_2(a)$ とすると、 $$\displaystyle \begin{aligned} A_1(a) &=\int_0^a g_a(x)\,dx =\boxed{\frac{a^3(2-a)}4}. \end{aligned}$$ 右側では $g_a(x)\le0$。$\displaystyle u=x-\frac32$、$\displaystyle d=\frac32-a>0$ と置けば、積分区間は $-d\le u\le d$ で、 $$\displaystyle g_a(x)=\left(\frac32+u\right)(u^2-d^2).$$ 奇関数部分の積分は対称区間で $0$ になるので、 $$\displaystyle \begin{aligned} A_2(a) &=-\int_{-d}^d\left(\frac32+u\right)(u^2-d^2)\,du\\ &=-\frac32\left(\frac{2d^3}{3}-2d^3\right) =2d^3 =\boxed{\frac{(3-2a)^3}{4}}. \end{aligned}$$ 従って $\displaystyle S(a)=\max\{A_1(a),A_2(a)\}$。区間 $0<a<3/2$ で $$\displaystyle A_1'(a)=\frac{a^2(3-2a)}2>0,\qquad A_2'(a)=-\frac32(3-2a)^2<0.$$ すなわち $A_1$ は増加、$A_2$ は減少する。$a=1$ では $$\displaystyle A_1(1)=A_2(1)=\frac14.$$ よって $a<1$ なら $S(a)\ge A_2(a)>A_2(1)$、$a>1$ なら $S(a)\ge A_1(a)>A_1(1)$。最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac14}$$ であり、$a=1$ でとる。

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)(i)&:\ \frac{a^3(2b-a)}{12},& (1)(ii)&:\ \frac{(a-b)^3(a+b)}{12},\\ (2)&:\ (\text{ウ},\text{エ})=(-1,-1),\quad \text{オ}=32,\\ (3)(i)&:\ \text{カ}=3,\quad \text{キ}=\frac{27}{4},& (3)(ii)&:\ \text{ク}=\frac14. \end{aligned}$$

使用した解法

多項式の展開積分、交点の因数分解、符号に基づく面積計算、接線の傾き、置換積分と単調性による最大面積の最小化を用いた。