大阪大学 2009年数学第1問解答・解説

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1問題

大阪大学2009年度第1問

放物線 $C:y=x^{2}$ 上の点 $\mathrm{A}_{1}(a_{1},a_{1}^{2}),\mathrm{A}_{2}(a_{2},a_{2}^{2}),\mathrm{A}_{3}(a_{3},a_{3}^{2}),\ldots$ を， $\mathrm{A}_{k+2}$ （ $k\geq 1$ ）における $C$ の接線が直線 $\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}$ に平行であるようにとる。ただし， $a_{1}<a_{2}$ とする。三角形 $\mathrm{A}_{k}\mathrm{A}_{k+1}\mathrm{A}_{k+2}$ の面積を $T_{k}$ とし，直線 $\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。このとき次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle \dfrac{T_{k+1}}{T_{k}}$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}T_{k}$ を $S$ を用いて表せ。　（配点率 $20\%$ ）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認接線と弦の傾きが等しいことから $2a_{k+2}=a_k+a_{k+1}$ 。 $d_k=a_{k+1}-a_k$ とおけば $d_{k+1}=-d_k/2$ なので、隣接差は0にならない。 $u=a_k,v=a_{k+1}$ とすると、弦の長さは $|d_k|\sqrt{1+(u+v)^2}$ 、 $A_{k+2}$ から弦までの高さは $d_k^2/(4\sqrt{1+(u+v)^2})$ 。よって $\displaystyle T_k=\frac{|d_k|^3}{8},\qquad \frac{T_{k+1}}{T_k}=\frac18.$

$d=a_2-a_1>0$ とおけば、弦と放物線の差を積分して $S=d^3/6$ 。一方 $T_1=d^3/8=3S/4$ 。したがって $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^nT_k =\frac{T_1}{1-1/8} =\frac67S.$

この問題で使う考え方

直線の方程式
多項式の導関数
接線の方程式
定積分
定積分による面積
漸化式
無限等比級数

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