3大阪大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$\alpha^2=2\alpha+1,\qquad \alpha=1\pm\sqrt2$ であり、$\alpha$ は無理数である。$\alpha^2=2\alpha+1$ を用いて左辺を整理すると、 $$\begin{aligned} (a+5\alpha)(b+5c\alpha) &=ab+5(ac+b)\alpha+25c\alpha^2\\ &=ab+25c+5(ac+b+10c)\alpha. \end{aligned}$$ したがって、これが 1 に等しいための条件は $$ab+25c=1,\qquad ac+b+10c=0$$ である。第2式から $b=-c(a+10)$ なので、第1式に代入して $$c(25-a^2-10a)=c\{50-(a+5)^2\}=1$$ を得る。左辺の各因子は整数だから、$c=1$ または $c=-1$ である。 $$\begin{array}{ll} c=1:&50-(a+5)^2=1,\ \ (a+5)^2=49,\ \ a=2\ \text{または}\ a=-12,\\ c=-1:&50-(a+5)^2=-1,\ \ (a+5)^2=51. \end{array}$$ 後者は $7^2<51<8^2$ より整数 a をもたない。$c=1$ のとき $b=-(a+10)$ だから、得られる組は $$(a,b,c)=(2,-12,1),\quad(-12,2,1).$$ この2組ではそれぞれ $ab+25c=1$ かつ $ac+b+10c=0$ となるので、元の式を満たす。