1日本大学 2013年 数学 第1問解答・解説

第1問

・ $8^{-1/6}=2^{-1/2}=1/\sqrt2$、$\log_2 8=3$ である。また $$\displaystyle \frac{2^{-1/2}}{(\sqrt2+1)^3} =\frac{(\sqrt2-1)^3}{\sqrt2} =\frac{5\sqrt2-7}{\sqrt2} =5-\frac{7\sqrt2}{2}.$$ したがって与式は $$\displaystyle \sqrt2-\left(5-\frac{7\sqrt2}{2}\right)+\frac{3\sqrt2}{8} =\frac{39\sqrt2-40}{8}.$$

・ 交点の $x$ 座標は $$3x^2-2ax-2a-1=0$$ の解である。異なる2解をもつ条件は判別式 $$\Delta=(-2a)^2-4\cdot3(-2a-1)=4(a^2+6a+3)>0,$$ すなわち $(a+3)^2>6$。よって $a<-3-\sqrt6$ または $a>-3+\sqrt6$。さらに $a\ge-3$ なので、求める範囲は $$a>-3+\sqrt6.$$

・ $A$ を $x$ 軸に関して反射した点を $A'=(0,-5)$ とする。$P$ は $x$ 軸上にあるため $AP=A'P$。従って $AP+BP=A'P+PB$ は、折れ線の長さが線分 $A'B$ の長さに等しくなるとき最小である。直線 $A'B$ を $$(x,y)=(0,-5)+t(8,7)\quad(0\le t\le1)$$ と表すと、$y=0$ となるのは $t=5/7$。このとき $x=40/7$ であり $0<5/7<1$ だから交点は線分 $A'B$ 上にある。答えは $40/7$。

・ $\triangle ADC$ は $C$ で直角、かつ $AC=CD=2$ なので $$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=2\sqrt2.$$ また $\angle ABD=\angle ABC=30^\circ$。三角形 $ABD$ の外接円の半径を $R$ とすると、弦 $AD$ に対する正弦定理から $$AD=2R\sin30^\circ=R,$$ よって $R=2\sqrt2$。図に示された、三角形 $ADC$ 内部を通る弧 $AD$ は小弧であり、その中心角 $\phi$ は $$\displaystyle AD=2R\sin\frac\phi2,\quad AD=R \quad\text{より}\quad \phi=\frac\pi3.$$ したがって弧長は $$\displaystyle R\phi=2\sqrt2\cdot\frac\pi3=\frac{2\sqrt2\pi}{3}.$$

・ まず $y\ge2x^2$ から $$\displaystyle k=x+y\ge x+2x^2=2\left(x+\frac14\right)^2-\frac18\ge-\frac18.$$ 等号は $(x,y)=(-1/4,1/8)$ で成り立ち、この点は残りの2不等式も満たす。 一方、$x\le2$ なら $y\le3x+3$ より $k\le4x+3\le11$。$x\ge2$ なら $y\le17-4x$ より $k\le17-3x\le11$。上端は $(x,y)=(2,9)$ で達成される。 さらにこれら2点を結ぶ線分上では、2本の上限制約は線形性により保たれる。下限制約も、$0\le\lambda\le1$ に対して $$(1-\lambda)y_0+\lambda y_1\ge2\bigl((1-\lambda)x_0^2+\lambda x_1^2\bigr) \ge2\bigl((1-\lambda)x_0+\lambda x_1\bigr)^2$$ より保たれる。従ってこの線分上で $x+y$ は $-1/8$ から $11$ まで全ての値をとり、求める範囲は $$\displaystyle -\frac18\le k\le11.$$

・ $AE:EB=2:3$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{3\vec a+2\vec b}{5},\qquad \overrightarrow{OF}=3\vec a+2\vec b, \qquad \overrightarrow{OD}=\frac12\vec c.$$ 直線 $DF$ 上の点を $D+t(F-D)$ と表すと、その $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数は $$\displaystyle 3t,\quad2t,\quad\frac{1-t}{2}.$$ 底面 $ABC$ の点の位置ベクトルは、$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数の和が1となる。従って $$\displaystyle 3t+2t+\frac{1-t}{2}=1\quad\text{より}\quad t=\frac19.$$ これは $0<t<1$ なので交点は線分 $DF$ 上にある。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac13\vec a+\frac29\vec b+\frac49\vec c.$$

・ 等比数列の和より $$\displaystyle 1+9+\cdots+9^{n-1}=\frac{9^n-1}{8},$$ 従って $3^{2n}-1=9^n-1=8(1+9+\cdots+9^{n-1})$ であり $a=8$。また $3^{120}\equiv1\pmod8$ なので $3^{120}+7$ は8の倍数である。 $$\displaystyle N=\frac{3^{120}+7}{8} =\frac{3^{120}}8\left(1+\frac7{3^{120}}\right).$$ 与えられた値から $$\displaystyle \log_{10}\frac{3^{120}}8=120(0.4771)-3(0.3010)=56.349.$$ $3^{120}>7$ より $1<1+7/3^{120}<2$ だから $$56.349<\log_{10}N<56.349+0.3010=56.650<57.$$ 従って $10^{56}<N<10^{57}$ であり、桁数は57。

・ $X=x-2\sqrt2$ と置くと双曲線の式から $X^2-3y^2=6$、すなわち $y^2=(X^2-6)/3$。また $d=2\sqrt2-a$ と置けば $$PH^2=(x-a)^2=(X+d)^2,$$ $$\displaystyle OP^2=x^2+y^2=(X+2\sqrt2)^2+\frac{X^2-6}{3} =\frac43X^2+4\sqrt2X+6.$$ $k$ が点 $P$ によらないなら、ある定数 $k^2$ について双曲線上の無限個の $X$ に対し $$\displaystyle (X+d)^2=k^2\left(\frac43X^2+4\sqrt2X+6\right)$$ が成り立つので、両辺の係数が一致する。$X^2$ と $X$ の係数から $$\displaystyle k^2=\frac34,\qquad 2d=4\sqrt2\,k^2=3\sqrt2,$$ よって $d=3\sqrt2/2$。従って $$\displaystyle a=2\sqrt2-d=\frac{\sqrt2}{2},\qquad k=\frac{\sqrt3}{2}.$$ 定数項も $d^2=9/2=6k^2$ と一致し、全ての点で比が一定となることを確かめられる。