4日本大学 2013年 数学 第4問解答・解説

第4問

$f(x)=e^{-x-1}$ とおく。

・ $F(x)=x-f(x)=x-e^{-x-1}$ とおけば、実数全体で $$F'(x)=1+e^{-x-1}>0.$$ 従って、$x$ が大きくなると $F(x)$ は必ず大きくなる。また $F(0)=-e^{-1}<0$、$F(1)=1-e^{-2}>0$ だから、中間値の定理により、$0<\alpha<1$ かつ $F(\alpha)=0$ を満たす実数 $\alpha$ が存在する。異なる実数に対して $F$ は同じ値をとらないので、そのような実数はただ一つであり、これは $x=f(x)$ の唯一の解である。

・ $a_1=1>0$ で、$f(x)>0$ だから全ての $a_n>0$。また $0<\alpha<1$。任意の $n$ について $a_n$ と $\alpha$ の間の点 $\xi_n$ は正なので、平均値の定理と $$f'(x)=-e^{-x-1},\qquad |f'(\xi_n)|=e^{-\xi_n-1}<e^{-1}<1$$ より $$|a_{n+1}-\alpha|=|f(a_n)-f(\alpha)|\le e^{-1}|a_n-\alpha|.$$ これを繰り返すと $$|a_n-\alpha|\le e^{-(n-1)}|a_1-\alpha|.$$ $C=|a_1-\alpha|$ とおけば $$\alpha-Ce^{-(n-1)}\le a_n\le\alpha+Ce^{-(n-1)}.$$ 左右の両列は $n\to\infty$ でともに $\alpha$ に収束するため、はさみうちの原理から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\alpha.$$