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岐阜大学／2012年度

岐阜大学 2012年 数学 第4問解答・解説

指数関数・対数関数微分法極限数列

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1問題

岐阜大学2012年度第4問

数列 {xₙ} を x₁ = 1, xₙ₊₁ = xₙ + xₙ(1 − log xₙ) (n = 1, 2, 3, ...) で定めることにする。eを自然対数の底として, 以下の問に答えよ。

(1) 実数xが 0 < x < e のとき, (1/e)(e − x) < 1 − log x < (1/x)(e − x) となることを示せ。

(2) n = 1, 2, 3, ... に対し, 1 ≦ xₙ < e であることを示せ。

(3) n = 1, 2, 3, ... に対し, e − xₙ₊₁ < (1 − 1/e)(e − xₙ) であることを示せ。

(4) limₙ→∞ xₙ = e であることを示せ。 (配点比率 20 %)

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) 1e(e−x)<1−log⁡x<1x(e−x).\displaystyle (1)\space{}\frac1e(e-x)<1-\log x<\frac1x(e-x).
    (2) 1≦xn<e.(2)\space{}1\le x_n<e.
    (3) e−xn+1<(1−1e)(e−xn).\displaystyle (3)\space{}e-x_{n+1}<\left(1-\frac1e\right)(e-x_n).
    (4) lim⁡n→∞xn=e.\displaystyle (4)\space{}\lim\limits _{n\to\infty}x_n=e.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 0<x<e0<x<e とし、 F(x)=xe−log⁡x,G(x)=log⁡x+ex−2\displaystyle F(x)=\frac{x}{e}-\log x,\qquad G(x)=\log x+\frac{e}{x}-2 とおく。すると F′(x)=1e−1x=x−eex<0,G′(x)=1x−ex2=x−ex2<0.\displaystyle F'(x)=\frac1e-\frac1x=\frac{x-e}{ex}<0,\qquad G'(x)=\frac1x-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}<0. また F(e)=G(e)=0F(e)=G(e)=0 であるから、0<x<e0<x<e では F(x)>0,G(x)>0F(x)>0, G(x)>0。これらをそれぞれ変形して 1−log⁡x>1−xe=1e(e−x),1−log⁡x<ex−1=1x(e−x)\displaystyle 1-\log x>1-\frac{x}{e}=\frac1e(e-x),\qquad 1-\log x<\frac{e}{x}-1=\frac1x(e-x) を得る。

(2) x1=1x_1=1 なので 1≦x1<e1\le x_1<e。1≦xn<e1\le x_n<e と仮定すると、log⁡xn<log⁡e=1\log x_n<\log e=1 だから xn+1=xn+xn(1−log⁡xn)>xn≧1.x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n)>x_n\ge1. また (1) の右側の不等式を x=xnx=x_n に適用して xn(1−log⁡xn)<e−xn,x_n(1-\log x_n)<e-x_n, よって xn+1<ex_{n+1}<e。従って数学的帰納法により、すべての n≧1n\ge1 で 1≦xn<e1\le x_n<e である。

(3) (2) より 0<e−xn0<e-x_n である。(1) の左側の不等式に x=xnx=x_n を代入して xn(1−log⁡xn)>xn(e−xn)/ex_n(1-\log x_n)>x_n(e-x_n)/e を得るから、漸化式より e−xn+1=e−xn−xn(1−log⁡xn)<(e−xn)(1−xne)≦(1−1e)(e−xn).\displaystyle \begin{aligned} e-x_{n+1} &=e-x_n-x_n(1-\log x_n)\\ &<(e-x_n)\left(1-\frac{x_n}{e}\right)\\ &\le\left(1-\frac1e\right)(e-x_n). \end{aligned} 最後の不等号では xn≧1x_n\ge1 と e−xn>0e-x_n>0 を用いた。これで求める厳密不等式が得られる。

(4) q=1−1/eq=1-1/e とおけば 0<q<10<q<1。 (2), (3) から 0<e−xn+1<q(e−xn)0<e-x_{n+1}<q(e-x_n) であるので、繰り返し適用して 0<e−xn≦qn−1(e−x1)=qn−1(e−1).0<e-x_n\le q^{n-1}(e-x_1)=q^{n-1}(e-1). 0<q<10<q<1 より qn−1→0q^{n-1}\to0 であり、はさみうちの原理から e−xn→0e-x_n\to0。したがって lim⁡n→∞xn=e.\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=e.

この問題で使う考え方

  • 等式・不等式の証明
  • 対数関数のグラフ・増減
  • 指数・対数関数の微分
  • 漸化式
  • 数学的帰納法
  • 等比数列の一般項と和
  • 数列の極限

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