3岐阜大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{(1) }P=t\vec a,\quad Q=s\vec b.\\ &\text{点 }R\text{ は直線 }AQ\text{ 上にあるので }\overrightarrow{OR}=(1-\lambda)\vec a+\lambda s\vec b,\\ &\text{点 }R\text{ は直線 }BP\text{ 上にあるので }\overrightarrow{OR}=t(1-\mu)\vec a+\mu\vec b.\\ &\text{係数比較より }\lambda s=\mu,\quad 1-\lambda=t(1-\mu),\\ &\text{ よって }\lambda=\frac{1-t}{1-st},\quad \mu=\frac{s(1-t)}{1-st}.\\ &\text{したがって }\overrightarrow{OR}=\frac{t(1-s)}{1-st}\vec a+\frac{s(1-t)}{1-st}\vec b.\\[5pt] &\text{(2) }c=\vec a\cdot\vec b,\quad U=\lVert\vec a\rVert^2-c,\quad V=\lVert\vec b\rVert^2-c\text{ とおく。}\\ &\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\text{ なので、直交条件は }t(1-s)(c-\lVert\vec a\rVert^2)+s(1-t)(\lVert\vec b\rVert^2-c)=0,\\ &\text{すなわち }t(1-s)U=s(1-t)V.\\ &\text{これを }s\text{ について解くと }s=\frac{tU}{tU+(1-t)V}=\frac{t(\lVert\vec a\rVert^2-\vec a\cdot\vec b)}{t(\lVert\vec a\rVert^2-\vec a\cdot\vec b)+(1-t)(\lVert\vec b\rVert^2-\vec a\cdot\vec b)}.\\[5pt] &\text{(3) }\theta=\angle AOB\text{ とすると }0<\theta<\frac{\pi}{2}\text{ であり、}\\ &U=\lVert\vec a\rVert(\lVert\vec a\rVert-\lVert\vec b\rVert\cos\theta)>0.\\ &\text{直交条件 }t(1-s)U=s(1-t)V\text{ と }0<t,s<1\text{ より }V>0.\\ &D=tU+(1-t)V>0\text{ とおけば }s=\frac{tU}{D}.\\ &\text{また }U-V=\lVert\vec a\rVert^2-\lVert\vec b\rVert^2\ge0\text{ だから }s-t=\frac{t(1-t)(U-V)}{D}\ge0.\\ &\text{等号成立は }U=V\text{ と同値であり、これは }\lVert\vec a\rVert^2=\lVert\vec b\rVert^2\text{、すなわち }OA=OB\text{ を意味する。} \end{aligned}$$