2岐阜大学 2012年 数学 第2問解答・解説

解答 (1) 1回目の3個組は $\displaystyle \binom83=56$ 通りで等確率である。$n_1<3$ となるには、3個の相異なる整数の最大値と最小値の差が2でなければならない。この場合は $\{1,2,3\},\ldots,\{6,7,8\}$ の6通りだけだから $$\displaystyle P(n_1\ge3)=\frac{56-6}{56}=\boxed{\frac{25}{28}}.$$

(2) 5の玉が1回目に最小値として取り除かれる組は、5より大きい3個から2個を選ぶ $\displaystyle \binom32=3$ 通りである。最大値として取り除かれる組は、5より小さい4個から2個を選ぶ $\displaystyle \binom42=6$ 通りである。従って5が箱に残る確率は $(56-3-6)/56=47/56$。残っていれば箱には6個あり、2回目に5を含む選び方は $\displaystyle \binom52$ 通り、全体は $\displaystyle \binom63$ 通りなので、条件付き確率は $\displaystyle \binom52/\binom63=1/2$。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{47}{56}\cdot\frac12=\boxed{\frac{47}{112}}.$$

(3) 1回目の最小値を $a$、最大値を $b$、差を $d=b-a=n_1$ とする。中間の玉は $d-1$ 通りに選べる。最小値と最大値だけが箱から除かれるため、2回目は 1から8までの玉から $a,b$ の玉を除いた6個から3個を選ぶ。従って全結果は $\displaystyle \binom83\binom63=1120$ 通りで等確率である。

$d\le4$ なら、2回目の範囲は高々7なので $n_1+n_2\le4+7=11$ が必ず成り立つ。この場合の有利な結果数は $$6\cdot1\cdot20+5\cdot2\cdot20+4\cdot3\cdot20=560.$$

$d=5$ の端点 $(a,b)=(1,6),(2,7),(3,8)$ に対して、残った6個からの選び方で範囲が6以下となるものはそれぞれ20、16、20通りである。中央の端点組 $(2,7)$ の場合だけ、残りの集合 $\{1,3,4,5,6,8\}$ で範囲7となる組があり、これは両端1と8を含む4通りである。中間の玉は各端点組に対して4通りなので、有利数は $4(20+16+20)=224$。

$d=6$ の端点は $(1,7),(2,8)$。各場合、残りの6個の最小値と最大値の差は6で、条件 $n_2\le5$ に反するのは両端を含む4組だから、有利な2回目の選び方はそれぞれ16通り。中間の玉は各5通りなので、有利数は $5(16+16)=160$。

$d=7$ では端点は $(1,8)$、残りは連続する6個 $\{2,3,4,5,6,7\}$ である。範囲が5となる組は両端2と7を含む4通りだから、範囲4以下の選び方は16通り。中間の玉は6通りなので有利数は $6\cdot16=96$。

以上より $$\displaystyle P(n_1+n_2\le11)=\frac{560+224+160+96}{1120}=\boxed{\frac{13}{14}}.$$