5帝京大学 2009年 数学 第5問解答・解説

(1) $G=\text{グー},\,C=\text{チョキ},\,P=\text{パー}$ と書く。Aの3回の順序は $GGP,GPG,PGG$ のいずれかである。ラウンドの順序を同じように並べ替えるとBの6通りの順序も全体として入れ替わるだけで、各組の勝ち数は変わらない。したがってAの順序を $GGP$ に固定して数えてよい。Bの各順序について、各回の勝敗と勝ち数を並べると $$\begin{array}{c|c|c|c} B\text{の順序} & \text{各回の結果} & A\text{の勝ち数} & B\text{の勝ち数}\\ \hline GCP & \text{引分け・A勝ち・引分け} & 1 & 0\\ GPC & \text{引分け・B勝ち・B勝ち} & 0 & 2\\ CGP & \text{A勝ち・引分け・引分け} & 1 & 0\\ CPG & \text{A勝ち・B勝ち・A勝ち} & 2 & 1\\ PGC & \text{B勝ち・引分け・B勝ち} & 0 & 2\\ PCG & \text{B勝ち・A勝ち・A勝ち} & 2 & 1 \end{array}$$ である。Aの勝ち数が多いのは6通り中4通りなので、$\text{ア}=4/6=2/3$ である。

(2) Bの予想を $m$ とする。$m>30$ のとき、表示数 $n$ がBの予想に近い条件は $$\displaystyle |n-m|<|n-30|\quad\text{すなわち}\quad n>\frac{m+30}{2}.$$ $m=31$ なら $n=31,32,\ldots,99$ の69個でBが勝つ。$m\ge31$ では境界 $(m+30)/2$ が増えるにつれてこの個数は増えない。一方、$m\le29$ ならBが勝てる表示数は最大でも $m=29$ のときの $n=0,1,\ldots,29$ の30個であり、$m=30$ では同じ予想なので勝てない。よってBに最も有利な予想は $31$ で、そのときの勝つ確率は $69/100$ である。したがって $\text{イ}=31,\ \text{ウ}=69/100$ である。

(3) ① 4回の取り出し位置のうち、青球が出る位置は $1,2,3,4$ のいずれも同確率である。青球の位置が1ならAは最初に青球を取り、Bが2個目の赤球を先に得る。位置が2ならAは1回目と3回目に赤球を取り、位置が3ならBが2回目と4回目に赤球を取る。位置が4ならAが1回目と3回目に赤球を取る。よってAが優勝するのは青球が2番目または4番目に出る場合であり、 $$\displaystyle \text{エ}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

(3) ② 6回の取り出し位置から青球の2位置を選ぶ15通りは、どれも同確率である。青球の位置と勝者を記すと $$\begin{array}{c|cccccccc} \text{青球の位置} &(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)&(2,3)&(2,4)&(2,5)\\ \text{勝者} &A&B&A&B&B&A&A&A\\[2pt] \text{青球の位置} &(2,6)&(3,4)&(3,5)&(3,6)&(4,5)&(4,6)&(5,6)&\\ \text{勝者} &A&A&B&B&A&A&A& \end{array}$$ となる。Aが優勝するのは15通り中10通りだから $$\displaystyle \text{オ}=\frac{10}{15}=\frac23$$ である。