帝京大学 2009年数学第1問解答・解説

数と式

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1問題

帝京大学2009年度第1問

次の $\boxed{\phantom{0}}$ にあてはまる正の整数を求め，解答のみを解答欄に記入しなさい。

(1) $2x^{2}-\boxed{\text{ア}}x-12=(2x+\boxed{\text{イ}})(x-4)$ 。

(2) $x^{2}+xy-2y^{2}-x+\boxed{\text{ウ}}y-12=(x+\boxed{\text{エ}}y-4)(x-\boxed{\text{オ}}y+\boxed{\text{カ}})$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

右辺を展開して同類項をまとめ、左辺と係数を比較して未知数を決める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad$ ア $=5,\space{}$ イ $=3\quad$ / (2) $\quad$ ウ $=10,\space{}$ エ $=2,\space{}$ オ $=1,\space{}$ カ $=3$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 右辺を展開すると $(2x+\text{イ})(x-4)=2x^2+(\text{イ}-8)x-4\text{イ}.$ 左辺と係数を比較して、 $-4\text{イ}=-12$ より $\text{イ}=3$ 。また $\text{イ}-8=-\text{ア}$ だから $\text{ア}=5$ である。

(2) $\text{エ}=E,\ \text{オ}=O,\ \text{カ}=K$ とおく。右辺を展開すると $(x+Ey-4)(x-Oy+K) =x^2+(E-O)xy-EOy^2+(K-4)x+(EK+4O)y-4K.$ 係数を比較して $E-O=1,\qquad EO=2,\qquad K-4=-1.$ $E,O$ は正の整数で、 $E=O+1$ と $EO=2$ より $O=1, E=2$ 。また $K=3$ である。したがって $y$ の係数は $E K+4O=2\cdot3+4\cdot1=10$ であるから、 $\text{ウ}=10,\quad \text{エ}=2,\quad \text{オ}=1,\quad \text{カ}=3.$

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