1東北大学 2009年 数学 第1問解答・解説

恒等式 $$a^3+b^3+3abc-c^3=(a+b-c)(a^2-ab+b^2+ac+bc+c^2)$$ が成り立つ。実際、$s=a+b$ とおくと、$a^3+b^3=s^3-3abs$ であるから、 $$a^3+b^3+3abc-c^3=s^3-c^3-3ab(s-c)=(s-c)(s^2+sc+c^2-3ab),$$ ここで $s-c=a+b-c$、$s^2+sc+c^2-3ab=a^2-ab+b^2+ac+bc+c^2$ である。 さらに第二因子は $$\displaystyle a^2-ab+b^2+ac+bc+c^2=\frac12\bigl((a-b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2\bigr)\ge 0$$ と表せる。

(1) $a+b=c$ のとき $a+b-c=0$ なので、恒等式から $a^3+b^3+3abc-c^3=0$、すなわち $a^3+b^3+3abc=c^3$。

(2) $a+b\ge c$ のとき $a+b-c\ge0$ であり、第二因子も平方の和で非負である。したがって $$a^3+b^3+3abc-c^3\ge0,$$ ゆえに $a^3+b^3+3abc\ge c^3$。

左辺から右辺を引いて因数分解し、残る二次式を平方の和として表す。等式条件では一次因子が0、不等式条件では一次因子が非負となる。