2東京医科歯科大学 2009年 数学 第2問解答・解説

2次式について $$g(x)=f(x+3)-f(x)=6ax+9a+3b.$$

(1) 条件Cより、1と4、2と5はいずれも3で割り切れない整数なので、$g(1)=f(4)-f(1)$と$g(2)=f(5)-f(2)$は整数である。したがって $$6a=g(2)-g(1)\text{ は整数},\qquad 9a+3b=g(1)-6a\text{ は整数}.$$ よって$g(x)$は係数と定数項が整数である1次式である。

以後、条件Cは次の条件と同値である。 $$6a\text{ は整数},\qquad 3a+b\text{ は整数},\qquad a+b+c\text{ は整数}.\tag{*}$$ 実際、Cならば(1)と、$f(1),f(2)$ が整数であることより、$3a+b=f(2)-f(1)\text{ は整数}$である。逆に(*)ならば$9a+3b=3(3a+b)\text{ は整数}$だから、$g(x)$は整数xに対して常に整数となる。また$f(1)$と$f(2)=f(1)+(3a+b)$は整数である。3で割り切れない整数xは1または2を3の整数倍だけ移動したものなので、$f(x)$も整数となる。

(2) $m=6a$、$k=3a+b$とおくと、(*)からm,kは正の整数であり、 $$\displaystyle a=\frac m6,\qquad b=k-\frac m2,\qquad c=1-k+\frac m3.$$ $b>0,c>0$より $$\displaystyle \frac m2<k<1+\frac m3.$$ したがって$m<6$。$m=1,2,3,4,5$を調べると、この範囲に入る整数kは$(m,k)=(1,1)$だけである。よって $$\displaystyle a=\frac16,\qquad b=\frac12,\qquad c=\frac13,\qquad f(x)=\frac{x^2}{6}+\frac{x}{2}+\frac13.$$

(3) (*)を用いる。条件Cならば$m_1b=m_1(k-m/2)$と$m_2a+m_3b=m_3k+(m_2-3m_3)m/6$が整数でなければならない。Cを満たす正の係数の例$(a,b,c)=(1/6,1/2,1/3)$を代入すると、必要条件 $$m_1\equiv0\pmod2,\qquad m_2+3m_3\equiv0\pmod6\quad(\text{すなわち }m_2\equiv3m_3\pmod6)$$ を得る。自然数$m_1,m_2,m_3$について、和が6未満なら、偶数$m_1\ge2$より$m_1=2$で$m_2+m_3\le3$となる。しかし$(m_2,m_3)=(1,1),(2,1),(1,2)$はいずれも上の合同条件を満たさない。したがって和は6以上である。

$(m_1,m_2,m_3)=(2,3,1)$ならばCから$2b=2(3a+b)-6a$、$3a+b$、$a+b+c$はいずれも整数となりC'を満たす。逆にC'ならば$2b$、$3a+b$、$a+b+c$が整数であり、$6a=2(3a+b)-2b$も整数となるので(*)よりCを満たす。ゆえに最小の組は$(2,3,1)$、その和は6である。

(4) $f(1)=n$として再び$m=6a$、$k=3a+b$とおく。条件(*)および$a,b,c>0$より、m,kは正の整数で $$\displaystyle b=k-\frac m2>0,\qquad c=n-k+\frac m3>0,\quad\text{すなわち}\quad\frac m2<k<n+\frac m3.$$ これを満たす整数mは$1\le m<6n$。各mに対するkの個数は $$\displaystyle N_m=\left\lceil n+\frac m3\right\rceil-\left\lfloor\frac m2\right\rfloor-1.$$ $m=6q+r$（$0\le r\le5$）と分けると、r=1では$N_m=n-q$、r=0,2,3,4,5では$N_m=n-q-1$となる。したがって総数は $$\displaystyle \sum\limits _{q=1}^{n-1}(n-q-1)+\sum\limits _{q=0}^{n-1}(n-q)+4\sum\limits _{q=0}^{n-1}(n-q-1)\\=\frac{(n-1)(n-2)}2+\frac{n(n+1)}2+2n(n-1)=3n^2-3n+1.$$