4金沢大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 集合を列挙 $p=3,n=2$ では $1\le k\le9$。3の倍数だけを除くので $A=\{1,2,4,5,7,8\}$ です。

(2) 個数と和 $1$ から $p^n$ までには $p^{n-1}$ 個の $p$ の倍数があります。よって $|A|=p^n-p^{n-1}$。和は、全整数の和から倍数の和を引いて $$\displaystyle \sum\limits _{k\in A}k=\frac{p^n(p^n+1)}2-p\frac{p^{n-1}(p^{n-1}+1)}2 =\frac{p^n(p^n-p^{n-1})}{2}.$$

(3) 各数に逆元が一つある $k\in A$ なら $k$ と $p^n$ は互いに素です。問題文で使ってよいとされたベズーの等式から $kx+p^ny=1$ となる整数 $x,y$ を取ります。$x$ の $p^n$ による余りを $\ell$ とすれば $k\ell\equiv1\pmod{p^n}$。余りは0でなく、$p$ の倍数でもないので $\ell\in A$ です。

もし $\ell_1,\ell_2$ がどちらも条件を満たせば、$p^n\mid k(\ell_1-\ell_2)$。$k$ は $p^n$ と互いに素だから $p^n\mid\ell_1-\ell_2$ です。範囲の幅は $p^n$ 未満なので2つは等しく、一意です。

(4) 逆数和の既約分子 (3) の逆元対応は、逆元をもう一度取ると元に戻るので、$A$ の置換です。従って逆元全体の和は元の $A$ の和 $T$ に等しいです。$k\ell(k)-1=m_kp^n$ と書けば $$\displaystyle \frac1k=\ell(k)-\frac{m_kp^n}{k},\qquad S=T-p^n\sum\limits _{k\in A}\frac{m_k}{k}.$$ (2) より $T$ は $p^n$ の倍数。$\displaystyle D=\prod\limits _{k\in A}k$ は $p$ を因数にもたないので、上式に $D$ を掛けると $DS$ は $p^n$ の倍数になります。

$S=a/b$ を既約とすると、$DS$ が整数なので $b\mid D$、従って $b$ は $p$ と互いに素です。$DS=a(D/b)$ で $D/b$ も $p$ と互いに素だから、$p^n\mid DS$ より $p^n\mid a$ が従います。