1金沢大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 判別式が負であるから $k^2-1<0$. $k>0$ より $0<k<1$. このとき上側の解は $\alpha=k+i\sqrt{1-k^2}$ であり, $|\alpha|=\sqrt{k^2+(1-k^2)}=1$. (2) $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{12}=\cos\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi4\cos\frac\pi6-\sin\frac\pi4\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$. (3) (1)より $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ と書け, $0<\theta<\pi$. $\phi=\arg(\alpha^3)$ $(0\leq\phi<2\pi)$ とする. $\alpha^3$ が第3象限にある条件は $\displaystyle \pi<\phi<\frac{3\pi}{2}$. この範囲では $\alpha^6=(\alpha^3)^2$ の偏角は 2$\phi$-2$\pi$ であり、$0<2\phi-2\pi<\pi$ なので, これが第1象限にあるための条件は $\displaystyle 0<2\phi-2\pi<\frac\pi2$, すなわち $\displaystyle \pi<\phi<\frac{5\pi}{4}$. 一方 $0<3\theta<3\pi$ なので $3\theta=\phi+2m\pi$ を満たす整数 m は $m=0$ に限る $\left(m\geq1\text{ なら }3\theta>3\pi\right)$. よって $\displaystyle \frac\pi3<\theta<\frac{5\pi}{12}$. $k=\cos\theta$ はこの区間で減少するから, $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{12}<k<\cos\frac\pi3$, すなわち $\displaystyle \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}<k<\frac12$. (4) $|\alpha|=1$ より $|1-\alpha^5|^2=2-2\cos(5\theta)$, したがって $\displaystyle |1-\alpha^5|=2\left|\sin\frac{5\theta}{2}\right|$. $\displaystyle u=\frac{5\theta}{2}$ とおくと $\displaystyle \frac{5\pi}{6}<u<\frac{25\pi}{24}$. 区間 $\displaystyle \frac{5\pi}{6}<u\leq\pi$ では $2|\sin u|$ は 0 以上 1 未満をすべてとる $\displaystyle \left(u=\pi\text{ で }0,\quad u\to\frac{5\pi}{6}+\text{ で }1\text{ に近づく}\right)$. 残りの $\displaystyle \pi<u<\frac{25\pi}{24}$ では $\displaystyle 2|\sin u|<2\sin\frac\pi{24}<1$. よって全体の値の範囲は $0\leq|1-\alpha^5|<1$.