1札幌医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 正五角形の中心と各頂点を結ぶと、合同な三角形が5個できる。中心角を $2\theta$ とおくと $\theta=\pi/5$ であり、半径は1だから $$\displaystyle S=5\cdot\frac12\sin 2\theta=\frac52\sin 2\theta.$$ 加法定理から得られる五倍角の公式 $\sin 5\theta=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta$ に $\theta=\pi/5$ を代入し、$\sin\theta>0$ を用いて割ると、$x=\sin^2\theta$ は $$\displaystyle 16x^2-20x+5=0, \qquad x=\frac{5\pm\sqrt5}{8}$$ を満たす。$0<\theta=\pi/5<\pi/4$ より $x<1/2$ なので、$x=(5-\sqrt5)/8$ である。したがって $$\displaystyle \sin^2 2\theta=4x(1-x)=\frac{5+\sqrt5}{8}, \qquad S^2=\frac{25}{4}\sin^2 2\theta=\boxed{\frac{25(5+\sqrt5)}{32}}.$$

(2) 直線 $AB$ の方向ベクトルを $\vec d=\overrightarrow{AB}=(-1,2,-2)$ とする。垂足 $H$ は直線上にあるから、ある実数 $t$ を用いて $$H=A+t\vec d=(3,1,1)+t(-1,2,-2)$$ と表せる。また $OH\perp AB$ より $\overrightarrow{OH}\cdot\vec d=0$ である。よって $$\displaystyle ((3,1,1)+t(-1,2,-2))\cdot(-1,2,-2)=(-3)+9t=0, \qquad t=\frac13.$$ ゆえに $$\displaystyle H=\left(3-\frac13,\ 1+\frac23,\ 1-\frac23\right) =\boxed{\left(\frac83,\frac53,\frac13\right)}.$$ 実際、この点は $AB$ 上にあり、$H\cdot\vec d=-8/3+10/3-2/3=0$ だから、原点からの垂線の足になっている。

(3) $\pi/6$ の回転に対応する複素数を $$\displaystyle q=\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt3+i}{2}$$ とする。回転の条件は $z_2-z=q(z_1-z)$ であり、$q\ne1$ だから $$\displaystyle z=\frac{z_2-qz_1}{1-q}.$$ ここで $$\displaystyle qz_1=\frac{5\sqrt3-3}{2}+\frac{5+3\sqrt3}{2}i, \qquad z_2-qz_1=\frac{3-\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}i.$$ したがって $$\displaystyle z=\frac{(3-\sqrt3)+(1-\sqrt3)i}{2-\sqrt3-i} =\frac{(8-4\sqrt3)+(8-4\sqrt3)i}{(2-\sqrt3)^2+1} =\boxed{1+i}.$$ 確認すると、$z_1-(1+i)=4+2i$ であり、 $$q(4+2i)=(2\sqrt3-1)+(2+\sqrt3)i, \qquad (1+i)+q(4+2i)=2\sqrt3+(3+\sqrt3)i=z_2.$$ よってこの中心で条件を満たす。