4九州大学 2002年 数学 第4問解答・解説

A　 (1) $\overrightarrow{AB}$=$\boldsymbol{u}$, $\overrightarrow{AC}$=$\boldsymbol{v}$ とし、両者のなす角を$\alpha$（$0\leq\alpha\leq\pi$）とする。三角形の面積は $$\displaystyle \frac12|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|\sin\alpha$$ であり、 $$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|\cos\alpha,\qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$$ だから、 $$\displaystyle [ABC]=\frac12\sqrt{|\boldsymbol{u}|^2|\boldsymbol{v}|^2- (\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v})^2}.$$ $\alpha$=0,$\pi$ の場合も両辺は0となり、等式は成り立つ。　 (2) $\angle$ BCD=$\pi$/2 より $\overrightarrow{AB}$$\perp$$\overrightarrow{AD}$ であり、$\angle$ FBC=$\pi$/2 より $\overrightarrow{AE}$$\perp$$\overrightarrow{AD}$ である。直交座標を $$A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad D=(0,1,0),\quad E=(2\cos\theta,0,2\sin\theta)$$ と定める。このとき上面は長さ1の辺 EF,EH をもつ長方形であり、 $$P=(2\cos\theta+x,\ y,\ 2\sin\theta),\qquad 0\leq x,y\leq1.$$ $\overrightarrow{AC}$=(1,1,0) なので、 $$|\overrightarrow{AC}|^2=2,\quad |\overrightarrow{AP}|^2=(2\cos\theta+x)^2+y^2+4\sin^2\theta =x^2+y^2+4x\cos\theta+4,$$ $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AP} =x+y+2\cos\theta.$$ (1)より $$\displaystyle \begin{aligned} [ACP]^2 &=\frac14\left\{|\overrightarrow{AC}|^2|\overrightarrow{AP}|^2- (\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AP})^2\right\}\\ &=\frac14\left\{(x-y+2\cos\theta)^2+8\sin^2\theta\right\}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle [ACP]=\frac12\sqrt{(x-y+2\cos\theta)^2+8\sin^2\theta}.$$

(3) $t=x-y$ とおくと、$0\leq x,y\leq1$ より $-1\leq t\leq1$ であり、この区間の全ての値は実現できる。よって平方根内の第1項 $(t+2\cos\theta)^2$ は、$-1\le-2\cos\theta\le1$ のとき0となり、この条件を満たさないときは最も近い端点で最小となる。$\sin$$\theta$>0 を用いると、 $$\displaystyle \min[ACP]= \begin{cases} \dfrac12\sqrt{(2\cos\theta-1)^2+8\sin^2\theta}, &0<\theta<\dfrac{\pi}{3},\\[4pt] \sqrt2\sin\theta, &\dfrac{\pi}{3}\leq\theta\leq\dfrac{2\pi}{3},\\[4pt] \dfrac12\sqrt{(2\cos\theta+1)^2+8\sin^2\theta}, &\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi. \end{cases}$$ 各場合の最小値は、それぞれ $x-y=-1$、$x-y=-2\cos\theta$、$x-y=1$ とすれば実際に得られる。　 B　 (1) $|z_j|=1$ より $\overline{z_j}=1/z_j$ である。まず辺 $z_2z_3$ に対し $$\displaystyle \overline{\frac{z_2+z_3}{z_3-z_2}} =\frac{1/z_2+1/z_3}{1/z_3-1/z_2} =-\frac{z_2+z_3}{z_3-z_2}.$$ したがってこの商は純虚数であり、ベクトル $z_2+z_3=w_1-z_1$ は $z_3-z_2$ と垂直である。もし $z_2+z_3=0$ なら $w_1=z_1$ であり、$w_1$ は頂点 $z_1$ からの垂線上にある。添字を循環させると、同様に $w_1-z_2=z_1+z_3$ は辺 $z_1z_3$ に垂直で、$w_1-z_3=z_1+z_2$ は辺 $z_1z_2$ に垂直である（和が0の場合は該当する頂点と $w_1$ が一致する）。よって $w_1$ は三つの頂点からの垂線上にあり、垂心である。　 (2) $|z_1|=1$ より $$\displaystyle w_2-z_1=-\overline{z_1}z_2z_3-z_1 =-\frac{z_1^2+z_2z_3}{z_1},$$ したがって $$\displaystyle q=\frac{w_2-z_1}{z_3-z_2} =-\frac{z_1^2+z_2z_3}{z_1(z_3-z_2)}.$$ 各 $|z_j|=1$ を用いて共役をとると $\overline q=-q$ となるので、$q$ は純虚数である。ゆえに直線 $z_1w_2$ は直線 $z_2z_3$ に垂直である。また $$|w_2|=|\overline{z_1}||z_2||z_3|=1.$$ 仮定 $w_2\ne z_1$ のもとで、$w_2$ は円 $C$ 上にあるこの垂線の $z_1$ 以外の交点である。　 (3) $w_1$ と $w_2$ はともに頂点 $z_1$ から辺 $z_2z_3$ に下ろした垂線上にあるので、その中点 $$\displaystyle m=\frac{w_1+w_2}{2} =\frac{z_1+z_2+z_3-\overline{z_1}z_2z_3}{2}$$ もこの垂線上にある（$w_1=w_2$ の場合も同じ）。ここで $$D=z_3-z_2,\qquad N=z_1-z_2+z_3-\overline{z_1}z_2z_3$$ とおくと、$m-z_2=N/2$ である。$|z_j|=1$ から $$\displaystyle \overline D=-\frac{D}{z_2z_3},\qquad -z_2z_3\overline N =-\frac{z_2z_3}{z_1}+z_3-z_2+z_1=N.$$ したがって $$\displaystyle \overline{\frac{m-z_2}{D}} =\frac{\overline N}{2\overline D} =-\frac{z_2z_3\overline N}{2D} =\frac{N}{2D} =\frac{m-z_2}{D}.$$ この商は実数だから、$m=z_2+\lambda(z_3-z_2)$（$\lambda\text{ は実数}$）と表せ、$m$ は直線 $z_2z_3$ 上にある。ゆえに $m$ は求める交点、すなわち垂線の足である。　 C　 各折れ線は各段階で高さが1ずつ増減する歩みとみなせる。　 (1) 上向きの段数を $u$、下向きの段数を $d$ とすると $$u+d=n,\qquad u-d=k,$$ ゆえに $u=(n+k)/2$、$d=(n-k)/2$ である。条件 $0\leq k\leq n$ のもとで両者が非負整数となる必要十分条件は $n+k$ が偶数である。条件が成り立つと、$n$ 段のうち上向きの段を置く $u$ 個の位置を選べばよいから、個数は $$\displaystyle \binom{n}{(n+k)/2}$$ である。　 (2) 終点を $(n,k)$ とする条件を満たす折れ線を、最後の一歩で分ける。最後が下向きなら、その直前の高さは $k+1$ である。この場合、始点の高さは $0\leq k$ であり、時刻 $n-1$ には高さ $k+1$ なので、途中のある時刻 $j\leq n-2$ に高さ $k$ を通る。該当する折れ線の数は、$(n-1,k+1)$ に至る折れ線の数 $$\displaystyle Q=\binom{n-1}{(n+k)/2}$$ である。　 最後が上向きなら、時刻 $n-1$ の高さは $k-1$ である。条件を満たすものは、その前に高さ $k$ を通る。高さ $k$ を初めて通った後の上下の歩みを高さ $k$ に関して反転すると、終点の高さは $k+1$ になる。この操作は逆にもでき、条件を満たすこの種の折れ線と $(n-1,k+1)$ に至る全ての折れ線が一対一に対応する。したがってこの場合も $Q$ 通りである。以上より求める個数は $\displaystyle 2Q=2\binom{n-1}{(n+k)/2}$ である。　 (3) $T_9=3$ となる9回の結果の総数は、表が6回なので $\displaystyle \binom96=84$ 通りである。各 $i$ 回後の $T_i$ は $i$ と同じ偶奇であるから、$T_8\ne3$。よって条件は、終点が高さ3となる歩みが時刻1から8までに高さ3を通らないことと同じである。そのような歩みでは時刻8の高さは2でなければならない。　 まず長さ8で高さ2に至る歩みは、上向き5回、下向き3回なので $\displaystyle \binom85=56$ 通りある。そのうち高さ3を一度でも通るものは、高さ3への初到達以後の歩みを高さ3に関して反転することで、長さ8で高さ4に至る歩みと一対一に対応する。後者は上向き6回、下向き2回なので $\displaystyle \binom86=28$ 通りである。したがって条件を満たす結果は $56-28=28$ 通りであり、求める条件付き確率は $$\displaystyle \frac{28}{84}=\frac13.$$