2九州大学 2002年 数学 第2問解答・解説

準備（補題） 2以上の整数 $p$ に対して $$f(p)\geqq p+1$$ が成り立ち，等号が成り立つのは $p$ が素数のときに限る。

実際，$1$ と $p$ はともに $p$ の正の約数であり，$p\geqq 2$ より $1\neq p$ であるから，これらは相異なる2つの約数である。ゆえに $$\displaystyle f(p)=\sum\limits _{d\mid p} d \geqq 1+p.$$ 等号が成り立つのは，$p$ の正の約数が $1,p$ の2個だけのとき，すなわち $p$ が素数のときに限る。なぜなら，$p$ が素数でなければ $1<d<p$ をみたす約数 $d$ が存在し，$f(p)\geqq 1+d+p>p+1$ となるからである。以下この事実を「補題」とよぶ。

(1)の証明

$b$ は正の奇数，$m$ は正の整数とし，$a=2^m b$ とする。$0\leqq i\leqq m$ の整数 $i$ と，$b$ の正の約数 $d$ の組 $(i,d)$ 全体から，$a$ の正の約数全体への対応 $(i,d)\mapsto 2^i d$ を考える。

(ア) $2^i d$ は $a$ の約数である：$d\mid b$ より $b=d d'$（$d'$ は正の整数）とおくと $$a=2^m b=(2^i d)(2^{m-i}d'),$$ かつ $0\leqq i\leqq m$ より $2^{m-i}d'$ は正の整数であるから，$2^i d\mid a$。

(イ) 異なる組は異なる約数に対応する：$(i,d)\neq (i',d')$（ともに $0\leqq i,i'\leqq m$，$d,d'\mid b$，$b$ が奇数だから $d,d'$ も奇数）で $2^i d=2^{i'}d'$ が成り立つとする。$i\neq i'$ とすると，一般性を失わず $i<i'$ として $d=2^{\,i'-i}d'$ となるが，右辺は偶数（$i'-i\geqq 1$）で左辺 $d$ は奇数だから矛盾。よって $i=i'$，このとき $2^i d=2^i d'$ より $d=d'$ となり，$(i,d)=(i',d')$ に反する。ゆえに異なる組から同じ約数は生じない。

(ウ) すべての約数がこの形で表される：$c$ を $a$ の任意の正の約数とし，$a=ct$（$t$ は正の整数）とおく。$c$ を割り切る $2$ の最大べきを $2^i$ とし，$d=c/2^i$（奇数）とおく。また $t$ を割り切る $2$ の最大べきを $2^{j}$ とし $t=2^{j}t'$（$t'$ は奇数）とおく。$a=2^m b$ で $b$ は奇数だから，$a$ を割り切る $2$ の最大べきはちょうど $2^m$ である。一方 $a=ct=2^i d\cdot 2^j t'=2^{i+j}(dt')$ で $dt'$ は奇数だから，$a$ を割り切る $2$ の最大べきは $2^{i+j}$ でもある。ゆえに $i+j=m$，特に $i\leqq m$。さらに $$2^m b=a=2^{i+j}dt'=2^m (dt')$$ より $b=dt'$。よって $d\mid b$（商は正の整数 $t'$）。以上より $c=2^i d$（$0\leqq i\leqq m$，$d\mid b$）と表される。

(ア)〜(ウ)より，$i=0,1,\ldots,m$ と $b$ の正の約数 $d$ のすべての組に対する $2^i d$ は、$a$ の正の約数全体を重複なく表す。ゆえに $$\displaystyle f(a)=\sum\limits _{c\mid a}c=\sum\limits _{i=0}^{m}\sum\limits _{d\mid b}2^i d=\Bigl(\sum\limits _{i=0}^{m}2^i\Bigr)\Bigl(\sum\limits _{d\mid b}d\Bigr)=(2^{m+1}-1)f(b).$$ （等比数列の和 $1+2+\cdots+2^m=2^{m+1}-1$ を用いた。）$\blacksquare$

(2)の証明

$p$ を2以上の整数，$q$ を正の整数とし，$a=pq$ とする。$p$ の正の約数全体を $d_1,\dots,d_k$（相異なる）とすると，各 $d_j\mid p$ に対して $$\displaystyle \frac{a}{d_j q}=\frac{pq}{d_j q}=\frac{p}{d_j}$$ は正の整数であるから，$d_j q$ はいずれも $a$ の正の約数である。また $q>0$ は固定されているので，$d_1,\dots,d_k$ が相異なれば $d_1 q,\dots,d_k q$ も相異なる。よって $$S=\{d_1q,\dots,d_kq\}$$ は $a$ の正の約数全体のなす集合の部分集合であり，その要素数は $p$ の正の約数の個数に等しい。$a$ の正の約数はすべて正であるから，部分集合の和は全体の和以下であり， $$\displaystyle f(a)=\sum\limits _{c\mid a}c \;\geqq\; \sum\limits _{j=1}^{k} d_j q = q\sum\limits _{d\mid p}d = q\,f(p) \;\geqq\; q(p+1)$$ （最後は補題）。これで $f(a)\geqq (p+1)q$ が示された。

次に等号成立条件を調べる。まず $q=1$ かつ $p$ が素数のとき：このとき $a=p$ であり，$p$ の正の約数は $1,p$ の2個だけであるから $a$ の正の約数も $1,p$ の2個だけで，$f(a)=f(p)=p+1=(p+1)\cdot 1=(p+1)q$ となり，等号が成り立つ。

逆に $f(a)=(p+1)q$ が成り立つとする。上の不等式の列 $$f(a)\geqq q f(p)\geqq q(p+1)$$ の両端が等しいので，途中の $q f(p)$ もこれらに等しい。$q f(p)=q(p+1)$ かつ $q>0$ より $f(p)=p+1$，補題により $p$ は素数である。また $\displaystyle f(a)=qf(p)=\sum\limits _{c\in S}c$ となるが，これは「$a$ の正の約数全体の和」と「その部分集合 $S$ の和」が等しいことを意味する。もし $a$ の正の約数の中に $S$ に属さないもの $c_0$ があれば，$\displaystyle f(a)\geqq \sum\limits _{c\in S}c+c_0>\sum\limits _{c\in S}c$ となって矛盾するから，$a$ の正の約数全体は $S$ に一致する。

ここで $q\geqq 2$ と仮定すると，$1$ は常に $a$ の正の約数であるが，$S$ の元はすべて $d_jq\geqq q\geqq 2$ の形であるから $1\notin S$ となり，$a$ の正の約数全体が $S$ に一致することに反する。ゆえに $q=1$ でなければならない。

以上より，等号 $f(a)=(p+1)q$ が成り立つのは $q=1$ かつ $p$ が素数のときに限る。$\blacksquare$

(3)の証明

$a,b$ を正の偶数とし，$a=2^m r$，$b=2^n s$（$r,s$ は正の奇数）と表す。$r,s$ が奇数であることと $a,b$ が偶数であることから，$m,n$ はともに正の整数でなければならない（もし $m\leqq 0$ なら $a=2^m r$ は奇数となり矛盾するから $m\geqq 1$，$n$ も同様）。

以下 $M=2^{m+1}-1$，$N=2^{n+1}-1$ とおく。$m,n\geqq 1$ より $M,N$ はともに $3$ 以上の奇数である。

(1)より $$f(a)=Mf(r),\qquad f(b)=Nf(s).$$ 仮定 $f(a)=2b$，$f(b)=2a$ より $$Mf(r)=2b=2\cdot 2^n s=2^{n+1}s=(N+1)s \quad\cdots\text{(I)}$$ $$Nf(s)=2a=2\cdot 2^m r=2^{m+1}r=(M+1)r \quad\cdots\text{(II)}$$

$M$ は奇数，$N+1=2^{n+1}$ は $2$ のべきであるから $\gcd(M,N+1)=1$。(I)より $M\mid (N+1)s$ であり，$M$ と $N+1$ が互いに素であることから（互いに素な整数の性質）$M\mid s$。そこで $s=Mk$（$k$ は正の整数）とおくと，(I)は $$Mf(r)=(N+1)Mk \quad\text{両辺を同じ正の整数で割ると}\quad f(r)=(N+1)k.$$ 同様に $N$ は奇数，$M+1=2^{m+1}$ は $2$ のべきなので $\gcd(N,M+1)=1$。(II)より $N\mid (M+1)r$ で，$\gcd(N,M+1)=1$ より $N\mid r$。そこで $r=Nl$（$l$ は正の整数）とおくと，(II)は $$Nf(s)=(M+1)Nl \quad\text{両辺を同じ正の整数で割ると}\quad f(s)=(M+1)l.$$

ここで $N\geqq 3$ は $2$ 以上の整数だから，(2)を $r=N\cdot l$（$p=N$，$q=l$）に適用すると $$f(r)\geqq (N+1)l.$$ 一方 $f(r)=(N+1)k$ であったから，$(N+1)k\geqq (N+1)l$ より $k\geqq l$。

同様に $M\geqq 3$ に対し，(2)を $s=M\cdot k$（$p=M$，$q=k$）に適用すると $$f(s)\geqq (M+1)k.$$ 一方 $f(s)=(M+1)l$ であったから，$(M+1)l\geqq (M+1)k$ より $l\geqq k$。

$k\geqq l$ かつ $l\geqq k$ より $k=l$。

このとき $r=Nl=Nk$ であり，$f(r)=(N+1)k$ は，(2) を $r=N\cdot k$（$p=N$，$q=k$）に適用したときの下界 $(N+1)k$ にちょうど一致している。(2)の等号成立条件（$q=1$ かつ $p$ が素数のときに限る）より，$k=1$ であり，かつ $N$ は素数である。

$k=1$ より $l=k=1$ であるから，$r=N\cdot 1=N=2^{n+1}-1$ であり，$N$（すなわち $r$）は素数である。

また $s=Mk=M\cdot 1=M=2^{m+1}-1$ であり，$f(s)=(M+1)l=(M+1)\cdot 1$ は，(2)を $s=M\cdot l$（$p=M$，$q=l=1$）に適用したときの下界にちょうど一致しているから，同じく等号成立条件より $M$（すなわち $s$）は素数である。

以上より，$r,s$ はともに素数であり，かつ $$r=2^{n+1}-1,\qquad s=2^{m+1}-1$$ であることが示された。$\blacksquare$

検算 (1) $a=12=2^2\cdot 3$（$m=2,\,b=3$）：$f(12)=1+2+3+4+6+12=28$，$(2^{3}-1)f(3)=7\cdot 4=28$ で一致。 (2) $a=7$（素数，$p=7,q=1$）：$f(7)=8=(7+1)\cdot 1$ で等号成立。$a=12$（$p=4,q=3$，$p$合成数）：$f(12)=28\geqq (4+1)\cdot 3=15$ で真の不等号。 (3) $m=n=1$：$M=N=3$（素数）。$r=s=3$，$a=b=2\cdot 3=6$。$f(6)=1+2+3+6=12=2\cdot 6$ で条件をみたし，$6$ は（対称形の）完全数の場合に一致する。$m=1,n=2$：$M=3,N=7$（ともに素数）。$r=N=7,\,s=M=3$，$a=2\cdot7=14,\,b=4\cdot3=12$。$f(14)=1+2+7+14=24=2\cdot 12$，$f(12)=1+2+3+4+6+12=28=2\cdot14$ で条件をみたす。以上により結論の整合性を確認した。