7信州大学 2018年 数学 第7問解答・解説

自然数は正の整数とする。

(1) $0\notin M$ なので $\alpha\ne0$。また、積についての閉性から全ての正整数 $k$ で $\alpha^k\in M$ である。$M$ は有限集合だから、$\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{|M|+1}$ の中に等しい二つがある。すなわち、$1\le i<j\le |M|+1$ となる $i,j$ があり $\alpha^i=\alpha^j$。$\alpha\ne0$ より両辺を $\alpha^i$ で割ると $\alpha^{j-i}=1$。したがって $n=j-i$ とすればよい。

(2) (1)より最小の $m$ が存在する。$m=1$ のときは $\cos2\pi+i\sin2\pi=1\in M$ である。以下 $m\ge2$ とする。$\alpha^m=1$ なので $|\alpha|=1$ であり、ある実数 $\theta$ により $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ と書ける。ド・モアブルの定理から $m\theta=2\pi k$ となる整数 $k$ がある。よって、ある整数 $r$ ($0\le r<m$) に対して $$\displaystyle \alpha=\cos\frac{2\pi r}{m}+i\sin\frac{2\pi r}{m}.$$ $d=\gcd(r,m)>1$ と仮定すると $$\displaystyle \alpha^{m/d}=\cos\frac{2\pi r}{d}+i\sin\frac{2\pi r}{d}=1, \qquad 1\le\frac md<m,$$ となり、$m$ の最小性に反する。したがって $\gcd(r,m)=1$。ベズーの等式により $ru+mv=1$ となる整数 $u,v$ がある。$u$ の $m$ を法とする剰余を $s$ ($1\le s<m$) とすれば、ある整数 $q$ に対して $rs=1+qm$。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \alpha^s&=\cos\frac{2\pi rs}{m}+i\sin\frac{2\pi rs}{m}\\ &=\cos\left(\frac{2\pi}{m}+2\pi q\right) +i\sin\left(\frac{2\pi}{m}+2\pi q\right)\\ &=\cos\frac{2\pi}{m}+i\sin\frac{2\pi}{m}. \end{aligned}$$ $s$ は正整数であり $M$ は積について閉じているため $\alpha^s\in M$。よって求める複素数も $M$ に属する。