4信州大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $n=1$ では $a_1=1>1/2$。ある $n$で $a_n>1/2$ と仮定する。すると $4a_n+3>0$ であり、 $$\displaystyle a_{n+1}-\frac12 =\frac{7a_n-1}{4a_n+3}-\frac12 =\frac{5(2a_n-1)}{2(4a_n+3)}>0.$$ したがって $a_{n+1}>1/2$。数学的帰納法によりすべての自然数 $n$で $a_n>1/2$ である。

(2) (1)から $2a_n-1>0$ なので、$b_n=2/(2a_n-1)$ はすべてのnで定義される。まず漸化式を変形すると $$\displaystyle 2a_{n+1}-1 =\frac{2(7a_n-1)-(4a_n+3)}{4a_n+3} =\frac{5(2a_n-1)}{4a_n+3}.$$ よって $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{2(4a_n+3)}{5(2a_n-1)}.$$ 一方、$b_n=2/(2a_n-1)$ から $a_n=1/2+1/b_n$ であり、$4a_n+3=5+4/b_n$、$2a_n-1=2/b_n$。これを代入して $$\displaystyle b_{n+1} =\frac{2(5+4/b_n)}{5(2/b_n)} =b_n+\frac45.$$ また $b_1=2/(2a_1-1)=2$。したがって $b_n$ は初項 $2$、公差 $\displaystyle \frac45$の等差数列で、 $$\displaystyle b_n=2+\frac45(n-1)=\frac{4n+6}{5}\qquad(n=1,2,\ldots).$$