1香川大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 初項 $0$、公差 $2$ なので $$a_n=2(n-1).$$ 平方完成すると $$f_n(x)=-x^2+2(n-1)x+1=-\{x-(n-1)\}^2+(n-1)^2+1$$ より、頂点は $x_n=n-1,\ y_n=(n-1)^2+1$。

(2) $P_1=(0,1),\ P_2=(1,2),\ P_3=(2,5)$。$g(x)=Ax^2+Bx+C$ とおくと $$C=1,\qquad A+B=1,\qquad 4A+2B=4$$ から $A=1,B=0,C=1$。したがって $g(x)=x^2+1$。さらに任意の $n$ で $$g(x_n)=(n-1)^2+1=y_n$$ なので全ての $P_n$ がこのグラフ上にある。

(3) $g(x)=x^2+1>0$ より、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S_n=\int_0^n(x^2+1)\,dx=\frac{n^3}{3}+n.$$ $y_k=g(k-1)$、$y_{k+1}=g(k)$ である。各 $k=1,\ldots,n$ で $k-1<x<k$ なら $$y_k=(k-1)^2+1<x^2+1<k^2+1=y_{k+1}.$$ これを$x=k-1$ から $x=k$ まで（幅 $1$）積分して加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n y_k<S_n<\sum\limits _{k=2}^{n+1}y_k.$$

(4) 平方和より $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^n y_k&=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(j^2+1)=\frac{n(2n^2-3n+7)}6,\\ \sum\limits _{k=2}^{n+1} y_k&=\sum\limits _{j=1}^n(j^2+1)=\frac{n(2n^2+3n+7)}6. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle S_n-\sum\limits _{k=1}^n y_k=\frac{n(3n-1)}6,\qquad \sum\limits _{k=2}^{n+1}y_k-S_n=\frac{n(3n+1)}6.$$ 後者と前者の差は $\displaystyle \frac n3>0$ ($n\geq1$) だから、上側の差の方が大きい。

(1) 初項 $0$、公差 $2$ なので $a_n=2(n-1)$。平方完成すると $f_n(x)=-\{x-(n-1)\}^2+(n-1)^2+1$ となるから、頂点は $x_n=n-1,\ y_n=(n-1)^2+1$。

(2) 初めの3点は $P_1=(0,1),\ P_2=(1,2),\ P_3=(2,5)$。二次関数を $g(x)=Ax^2+Bx+C$ とおくと、$C=1,\ A+B=1,\ 4A+2B=4$ より $A=1,B=0,C=1$。したがって $g(x)=x^2+1$。さらに任意の $n$ で $g(x_n)=(n-1)^2+1=y_n$ なので、すべての $P_n$ がこのグラフ上にある。

(3) $g(x)=x^2+1>0$ なので、$0\leq x\leq n$ の領域の面積は $\displaystyle S_n=\int_0^n(x^2+1)\,dx=\frac{n^3}{3}+n$。$y_k=g(k-1)$、$y_{k+1}=g(k)$。各 $k=1,\ldots,n$ について $k-1<x<k$ なら $(k-1)^2<x^2<k^2$、従って $y_k<g(x)<y_{k+1}$。幅1の各区間で積分し、$k=1$ から $n$ まで加えると $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n y_k<S_n<\sum\limits _{k=2}^{n+1}y_k$。

(4) 平方和を使うと $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n y_k=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(j^2+1)=\frac{n(2n^2-3n+7)}6$、$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n+1}y_k=\sum\limits _{j=1}^n(j^2+1)=\frac{n(2n^2+3n+7)}6$。従って $\displaystyle S_n-\sum\limits _{k=1}^n y_k=\frac{n(3n-1)}6$、$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n+1}y_k-S_n=\frac{n(3n+1)}6$。この差は上側の方が $n/3$ 大きい。$n$ は正整数なので $n/3>0$。