5鹿児島大学 2011年 数学 第5問解答・解説

大問5 解答（5-1～5-4の全選択肢）

5-1(1) 単元ラベル： 行列の累乗と等比和。　 方法ラベル： 右からの積を展開して項を消去する。　 使用公式・定理： 行列の積の分配法則、$X^jX=X^{j+1}$。

論証・解答： $$\begin{aligned} (E+X+X^2+\cdots+X^n)(E-X) &=(E+X+\cdots+X^n)-(X+X^2+\cdots+X^{n+1})\\ &=E-X^{n+1}. \end{aligned}$$ ここで各項は同じ行列 $X$ の累乗なので、右側の積を展開したときに中間項が相殺する。仮定より $E-X$ は逆行列を持つから、両辺の右から $(E-X)^{-1}$ を掛ければ $$E+X+X^2+\cdots+X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1}$$ を得る。

5-1(2) 単元ラベル： 行列の積・累乗。　 方法ラベル： 成分ごとの積和と、$A^3$ を使う指数の分解。　 使用公式・定理： 行列積の定義、$(A^3)^qA^r=A^{3q+r}$。

論証・解答： $$A^2=\begin{pmatrix} (-2)(-2)+2(-2)&(-2)2+2\cdot0\\ (-2)(-2)+0(-2)&(-2)2+0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-4\\4&-4\end{pmatrix}.$$ さらに $$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}8&0\\0&8\end{pmatrix}=8E.$$ したがって $100=3\cdot33+1$、$101=3\cdot33+2$ より $$\boxed{A^{100}=8^{33}A= \begin{pmatrix}-2^{100}&2^{100}\\-2^{100}&0\end{pmatrix}},\qquad \boxed{A^{101}=8^{33}A^2= \begin{pmatrix}0&-2^{101}\\2^{101}&-2^{101}\end{pmatrix}}.$$

5-1(3) 単元ラベル： 行列の累乗和。　 方法ラベル： 3項ずつまとめ、スカラー等比数列の和を使う。　 使用公式・定理： $A^3=8E$、等比数列の和。

論証・解答： $q=8^{33}$、$r=(8^{33}-1)/7$ とおく。指数を3つずつまとめると $$\displaystyle \begin{aligned} E+A+\cdots+A^{100} &=\sum\limits _{j=0}^{32}(A^{3j}+A^{3j+1}+A^{3j+2})+A^{99}+A^{100}\\ &=r(E+A+A^2)+q(E+A). \end{aligned}$$ ここで $E+A+A^2=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&-3\end{pmatrix}$、$E+A=\begin{pmatrix}-1&2\\-2&1\end{pmatrix}$ だから $$\displaystyle \boxed{ E+A+A^2+\cdots+A^{100} =\frac17\begin{pmatrix} 1-8q&12q+2\\ -12q-2&4q+3 \end{pmatrix},\qquad q=8^{33}.}$$

5-2(1) 単元ラベル： 極座標と直交座標。　 方法ラベル： $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を用いて変換する。　 使用公式・定理： $r^2=x^2+y^2$。

論証・解答： $$r=2\cos\theta\quad\text{より}\quad r^2=2r\cos\theta=2x,$$ したがって $$\boxed{x^2+y^2=2x}\quad\text{すなわち}\quad \boxed{(x-1)^2+y^2=1}.$$ 中心 $(1,0)$、半径1の円である。図示すると、$(0,0)$ と $(2,0)$ を左右の端点とし、中心を $(1,0)$ にもつ円となる。

5-2(2) 単元ラベル： 円と直線の共有点。　 方法ラベル： 直線を代入した二次方程式の判別式。　 使用公式・定理： 二次方程式が異なる2実根をもつ条件 $D>0$。

論証・解答： 点 $(-1,0)$ を通る傾き $k$ の直線は $y=k(x+1)$。これを $x^2+y^2=2x$ に代入すると $$(1+k^2)x^2+2(k^2-1)x+k^2=0.$$ その判別式は $$D=4(k^2-1)^2-4(1+k^2)k^2=4(1-3k^2).$$ 交点が異なる2点であるための条件は $D>0$ なので $$\displaystyle \boxed{-\frac1{\sqrt3}<k<\frac1{\sqrt3}}.$$

5-2(3) 単元ラベル： 二次方程式の解と軌跡。　 方法ラベル： 解と係数の関係から中点を媒介変数表示する。　 使用公式・定理： ヴィエタの公式、円の方程式。

論証・解答： 交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、前問の二次方程式から $$\displaystyle x_1+x_2=\frac{2(1-k^2)}{1+k^2}.$$ 中点を $M=(u,v)$ とおけば $$\displaystyle u=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1-k^2}{1+k^2},\qquad v=k(u+1)=\frac{2k}{1+k^2}.$$ よって $u^2+v^2=1$。また $|k|<1/\sqrt3$ から $u>1/2$ であり、$k=0$ では $(u,v)=(1,0)$ を含む。したがって中点の軌跡は $$\displaystyle \boxed{u^2+v^2=1,\quad u>\frac12}$$ で表される単位円の右側の弧である。端点 $(1/2,\pm\sqrt3/2)$ は含まない。

5-3(1) 単元ラベル： 離散型確率変数と確率。　 方法ラベル： 36通りを等確率として条件を満たす組を数える。　 使用公式・定理： 等確率の場合の確率は該当する場合の数を全場合の数で割る。

論証・解答： $(X,Y)$ は36通りの順序対を等確率でとる。$T=6$ は $Y=2X-6$ であり、該当する組は $(4,2),(5,4),(6,6)$ の3通りだから $$\displaystyle \boxed{P(T=6)=\frac3{36}=\frac1{12}}.$$ $T\ge0$ は $Y\le2X$。$X=1,2$ のとき該当する $Y$ はそれぞれ2通り、4通りであり、$X=3,4,5,6$ では各6通り。合計30通りなので $$\displaystyle \boxed{P(T\ge0)=\frac{30}{36}=\frac56}.$$

5-3(2) 単元ラベル： 期待値と分散。　 方法ラベル： 一様分布の公式と期待値の線形性を使う。　 使用公式・定理： $\displaystyle V(X)=\frac{n^2-1}{12}$（1から $n$ の一様分布）、$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$。

論証・解答： $X$ は1から6の一様分布だから $$\displaystyle \boxed{V(X)=\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}}.$$ また $E(X)=E(Y)=7/2$ なので $$\displaystyle \boxed{E(T)=2E(X)-E(Y)=\frac72}.$$

5-3(3) 単元ラベル： 分散の変換。　 方法ラベル： 独立性で和の分散を求めてから定数倍する。　 使用公式・定理： 独立な確率変数について $V(U+W)=V(U)+V(W)$、$V(aU)=a^2V(U)$。

論証・解答： さいころの目 $X,Y$ は独立で、同じ一様分布に従う。したがって $$\displaystyle V(T)=V(2X-Y)=4V(X)+V(Y)=5\cdot\frac{35}{12}=\frac{175}{12}.$$ $V(aT)=a^2V(T)=25$ より $$\displaystyle a^2=\frac{25\cdot12}{175}=\frac{12}{7},\qquad \boxed{a=\pm\frac{2\sqrt{21}}7}.$$

5-4(1) 単元ラベル： 確率密度関数と連続型確率変数の期待値。　 方法ラベル： 密度の積分を1に規格化し、$x f(x)$ を積分する。　 使用公式・定理： $\displaystyle \int f(x)\,dx=1$、$\displaystyle E(X)=\int x f(x)\,dx$。

論証・解答： 確率密度の全積分が1であることから $$\displaystyle \frac12+\int_1^3\left(-\frac{x}{4}+k\right)dx =\frac12+(-1+2k)=1,$$ よって $\boxed{k=3/4}$。平均は $$\displaystyle \begin{aligned} E(X)&=\int_0^1\frac{x}{2}\,dx+\int_1^3x\left(-\frac{x}{4}+\frac34\right)dx\\ &=\frac14+\left[-\frac{x^3}{12}+\frac{3x^2}{8}\right]_1^3 =\frac14+\frac56=\boxed{\frac{13}{12}}. \end{aligned}$$

5-4(2)(a) 単元ラベル： 標準正規分布の対称性。　 方法ラベル： 区間を0の左右に分け、$g$ の差または和にする。　 使用公式・定理： 標準正規分布の確率密度は偶関数である。

論証・解答： $$\boxed{ P(a\le Z\le b)= \begin{cases} g(b)-g(a),&0\le a<b,\\ g(-a)-g(-b),&a<b\le0,\\ g(-a)+g(b),&a<0<b. \end{cases}}$$ 負の区間は標準正規分布の対称性で正の側へ移し、0をまたぐ場合は左右の確率を加える。端点が0の場合は上の該当する式を用いる。

5-4(2)(b) 単元ラベル： 標本平均の標準化と標準正規分布。　 方法ラベル： 標本平均の標準誤差で標準化し、対称性で $g$ に直す。　 使用公式・定理： $E(\bar X)=\mu$、$\operatorname{SD}(\bar X)=\sigma/\sqrt n$（正規モデルまたは標準正規近似）。

論証・解答： 標本平均の平均は50、標準誤差は $$\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=3.$$ 標準化すると、求める確率は $$\displaystyle P\left(-3\le Z\le-\frac12\right) =P\left(\frac12\le Z\le3\right) =\boxed{g(3)-g\left(\frac12\right)}.$$ この表現は設問の意図する標準正規モデル（または正規近似）での値である。母集団分布を指定せず平均と標準偏差だけを与えた場合、有限標本での厳密な確率はそれらだけからは定まらない。

5-4(2)(c) 単元ラベル： 母分散既知の母平均の信頼区間。　 方法ラベル： 中央確率を $l_p$ で表し、標準誤差を掛けて幅を求める。　 使用公式・定理： 標準正規分布で $-l_p\le Z\le l_p$ となる確率は $2g(l_p)$、標準誤差は $\sigma/\sqrt n$。

論証・解答： $g(l_p)=p/2$ より $P(-l_p\le Z\le l_p)=p$。母標準偏差は5、標本の大きさは20なので標準誤差は $5/\sqrt{20}$。標本平均45に対する区間は $$\displaystyle 45-\frac5{\sqrt{20}}l_p\le m\le45+\frac5{\sqrt{20}}l_p.$$ したがって区間幅は $$\displaystyle \boxed{2\cdot\frac5{\sqrt{20}}l_p=\sqrt5\,l_p}.$$ ここでは母分散既知の標準正規による両側区間（母集団正規モデルまたは標準正規近似）を用いた。