1鹿児島大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 定義域は $2x-1>0$ かつ $x-1>0$、すなわち $x>1$。対数の和をまとめると $$\log_a\bigl((2x-1)(x-1)\bigr)\le0.$$ $0<a<1$ では $\log_a u\le0$ と $u\ge1$ は同値だから $$(2x-1)(x-1)\ge1\quad\text{すなわち}\quad 2x^2-3x\ge0\quad\text{すなわち}\quad x(2x-3)\ge0.$$ 定義域 $x>1$ のもとでは解は $\displaystyle x\ge\frac32$。

(2) 多項定理の係数は $$\displaystyle \frac{8!}{2!3!3!}\,2^2(-1)^3=-2240.$$

(3) $a=7k,b=6k,c=5k$（$k>0$）とおくと半周長は $9k$。ヘロンの公式から $$(12\sqrt6)^2=(9k)(2k)(3k)(4k)=216k^4.$$ したがって $k^2=2$、$k=\sqrt2$（長さなので正）であり、$a=7\sqrt2$。

(4) $n$ を $m$ で割った商を $q$ とすると $n=qm+7$。余りは除数より小さいので $m>7$。また $$n+13=qm+20$$ が $m$ で割り切れることから $m\mid20$。20の正の約数で7より大きいものは10,20のみである。両者とも実現し、例えば $n=m+7$ とすれば条件を満たす。よって $m=10,20$。